ガウスの消去
PCA反転のダイ意味でまだアクティブにすることができます。
偶数、取り外した2つの分割式の必要性の複雑一緒に成形することができる\（O（N ^ 3 \ログP）\） 。
残りユークリッド除算は、それが有効であると定義することができます。
- 逆行列：行列のための\（\） 、逆行列の定義\（A ^ - {1} \） 満足する{\（\のCDOTのA ^ - 1} = A ^ { - 1} \ CDOT A = Eを\ ）マトリックス。
逆行列は、ガウスの消去があります。\（{\のCDOTのA ^ - 1} = Eの\） の形で\（A \）単位行列、同じ動作のための式の右辺の除去中。
アプリケーション：式\（\のB = CDOT X \） （マトリックス大文字、小文字ベクター）、異なるため\（B \）を繰り返し解く、に変換することができる（X = A ^ {\ - 1} \ CDOT A \ CDOT X = A ^ { - 1} \ CDOT B \） 形式、すべてガウスの消去を回避します。
- 例
質問の意味：\（\ n-は）マップ、そこを指す\（k個\）各臨界点のためのキーポイント\（（I、J）\）から入手した、\（私は\）ランダムウォークの開始を最初のキーポイントが検出された\（J \）確率。
ソル：
列挙エンド\（k個の\）は、設定（のf_i \）\をより表す\（iは\）最初のキーポイントを開始来ることである（k個の\）\確率。
各仮想点だけでなく、キーポイントに設けられた\（I '\） 、電流のみ列挙エンドポイント\（F_ {K' 1} = \） 、残部\（0 \） 。
各ガウスの消去法のみ定数項、ベクトルのように定数項、各次元表現のエンドポイントの異なる点を見つける\（K \）行係数に対応します。直接ライン上でこのような排除。
- 行列式
結論：マトリックスは二つのが設けられている\（A、B \） 、次いで\（DET（A \ B CDOT）DET =（A）DET（B）\） 。
三角形のクロス積の演算子一般的に使用される領域は、基本的な決定要因です。
ように拡張することができる（D \）\次元空間を、容積は行列式により算出しました。
もう一つの結論：と\（D \）変数、満足\（X_I \のLeq 0 \） 、および\（\ SUM X_I \のLeq S \） 、ポイント\を（（X_1、X_2、... 、x_d）\ ）ボリューム・セットを構成\（= \ S FRAC {D}、{D ^！} \） 。（に対応\（D \）番目の次元は唯一のものである\（S \）ベクトルの行列式の積）
- 例
問題の意味のための：\（N-1 \）を三次元空間の下\（N + 1 \）点の各点の各次元座標を確実にする（\ \ {0,1 \}で\を\） 、凸包を求めますボリューム。
ソル：
最初の質問は、各ポイントの内部が凸包にならないことを確実にすることを意図しています。
場合にのみ\（N- \）ポイント体積を計算するために直接行列式を解決することができます。
今に変換（N + 1 \）\それぞれの大きさ発見を指す\（\ N-）加算点集合の凸包の体積の後に、各ドットが二回忘れています。
証明？GUGU区。
正確な値を得るために必要ではないモジュロ計算場合外積方向ため、最終的に、絶対値を取ることに留意されたいです。
- 行列木定理
構成：各点の主対角線度、残りの位置を比較している側の\（--1 \） 、そうでなければ\（0 \） 。取り除きます頭が食べることができます行必要な数の後に、スパニングツリーの決定因子です。
証明？GUGU区。
図の存在根付いた木の数：オーダー\（G_ {I、I} \） の\（私は\）浸透の、\（G_ {I、J} \）の\は（私は\）にする\ （J \）反対側のエッジカウント、場所は\（Iは\）ルートの数は、図の除去部分である\（Iは\）行\（Iは\）決定基カラム。
当然の帰結（BEST定理）：\ （N- \）ポイント有向グラフ、任意のポイント根ざし図のツリーのオイラー数である数の\（\回\総和（dgr_i -1）\！） 。
証明？GUGU区。
- 例：
問題の意味：\（N- \）点、（\ \ {。N-- 1、N- \} \） 。図の側面、各側面が繰り返さ\（T_I \）片、及びオイラー数。\（N-、T_I \のLeq 1000年\） 。
ソル：
それぞれの側の後オイラー数は、定理BESTで算出することができる方向性を見つけます。
検討（N-1 \）\図両方明らか方向、各エッジのエッジ（\ \ FRAC {T_I} { 2} \） 回、次いでBEST定理を用いて容易に配向することができます。
延び\（\ N-）を森林溶液の同じ部分について、エッジの後に、主な問題は、エッジリングである
不確か方向。列挙我々はするために、各方向における任意の2点間のエッジの数を発見\（O（N）\）環上の他の点の間のエッジのリリース番号。
リングは、製品の接頭辞に二つの方向を維持するために、場所に切断しなければならないので、ツリーは、複雑さの手の数をカウントすることができます\（O（NT）を\） 。
- 帯行列
定義：すべての非\（0 \）要素は、主対角の周り超えない\（D \）距離以内。
ガウス消去、のみ使用するたび長\（D \）ベクトル除去\（D \）ライン、複雑\（O（のNd ^ 2）\） 。
PCAは、一つ下の行を変更することはできません換言すれば、それ以外の場合は自然を破壊します。
あなたは正しいつのトランスデューサ（シーケンスを切り替える二つの変数に相当）を見つけることができます。
使用方法：ランダムウォークのトレリス線図などが挙げられます。
- 例：
初めに\（（0,0）\） 、ランダムな方向に行くには、それぞれの時間は（4つの方向確率が異なる場合があります）、より多くの原点からのユークリッド距離尋ねた\（R \）のステップ数の期待値を。\（R＆LT \のLeq 50 \） 。
ソル：
非常にボード。所望の点に出ドラッグ、それはバンド行列、撮影フラット複雑後に直接溶液である（O（R＆LT ^ 4）\）\。
- 主元法
それが決定された場合、多くのグリッドの問題については、我々は行（または1）を見つけ、その後、グリッド全体の状況が出て再帰的にすることができます。
したがって、最初の行の状態が不明に設定されてもよい（O（N ^ 2M）\ \） 各ビンの状態は最初の行の状態の線形結合として表現される時間の間。最後の行、多くの場合、記載された式では、ガウスの消去をすることができます。
上記の例では、各行が未知数にポイント状態を左端のできる、方程式は最も右に記載されている（さらに右にあるように、\（0 \） ）、行うことができる）\（O（R ^ 3 \ ）。
彼女は突然話したDLSはガウスの消去半時間を見つけました
2.リニアスペース
番号フィールド上で定義されたリニアスペース、いくつかの乗算、加算と減算を満たすには閉じています。（ない何が）
数学上の異なる何もセットのベースを定義し、強制4を参照してください。。
モールド\（Pの\）の意味で、寸法である場合（Dを\）\、その後の合計\（P ^ Dの\）要素（おそらくとして理解することができる\（Dの\）次元ベクトル）。
- 実施例（1）
質問の意味：加数の端部を支持シーケンスは、区間数のXORの最大の数を尋ねました。\（N、Q \のLeq 5E5、a_iを\ ^ {30}のLeq 2 -1 \） 。
ソル：
リニアスキャンライングループを維持し、オフに考えてみましょう。各要素は線形時間ベースの（走査線と同様なので、実際には位置）を維持するために添加され、時間の新たな要素を追加するたびに、位置要素を有する場合、右のものよりも位置を離れ、別の再帰。
唯一可能要素の左端点よりも大きな参加する時間を見つける必要があるときは、必ずお願いします。（のような山東省の質問の特定のセットで）
- 実施例（2）
\は、（n回のM \ \）各列の各行は奇数であり、生成物は完全な方形、プログラムの数を見つけることであるように、必要な数の複数から選択されるマトリックス。\（N、M \のLeq 20は、A_ {I、J} \ 1当量9 ^ 10 \です）。
行ごとに、各列および各列の排他的品質係数または方程式のセットは、空きエントリの数について解くことができます。
- 随伴
定義：行列\（ADJ（A）\） 、そう\（ADJ（A）_ {I、J} = C_ {J、I} \） 、すなわちマトリックス\（\）は、セクション削除\（J \）をライン\（私は\）補因子の列。
性质：\（A \ CDOT ADJ（A）= ADJ（A）\ CDOT A = DET私は\ \ CDOT（A））
証明：落とし、GUGU区。
上記の性質の役割？おそらく行列の逆行列計算を伴うことが......
不可逆的になって？私が行うことができますが、私はドロップ......
- すべてのマトリックス
ブラック、科学技術、より多くの木々や花（謝）よりも（ハオ）のスペクトルに依存します。
任意の無向グラフに\（G \）一意に割り当てられた各エッジの重みの\（X_ {U、V} \） 、存在しない\（0 \） 、マトリックス定義\（A \）トゥッテのを行列マトリックス\（B \）、次いで\（B_ {I、J} = X_ {I、J} \ CDOT（-1）^ {[I> J]} \） 。
\（G \）は、完璧な一致がある場合に限り、\（DET（B）\ 0 = \） 。
なぜ？知りません。
\（B ^ { - 1} 〜_ {I、J} \ない= 0 \） 場合にのみ\（G-（I、J） \） 完全な一致があります。
なぜ？知りません。
あなたはできますか？おそらく、数に関連するいくつかの問題に対処することができます。
\（G \）最大一致\（= \ {ランクFRAC（B）}、{2} \） 。
なぜ？知りません。
女の子はに落ち......
3.特性多項式
定義はどこにでもコピーされません
- 行列の対角化：
設定\（A \）特徴ベクトル（\ \ {X_1、X_2、...、x_nに関する\} \） 、対応する固有値\（\ {\ lambda_1、\ lambda_2、...、\ lambda_n \} \） 、マトリックス\（P = [X_1、X_2、...、x_nに関する] \） 、対角行列\（D = \ {\ lambda_1、\ lambda_2、...、\ lambda_n \} \）、次いで\（A \ CDOT P = P \ DのCDOT \） 。
使用：\（A = P CDOT D \ CDOT P \ ^ { - 1} \） 、次いで\（A ^ K = P \ CDOT D ^ K \ CDOT P ^ { - 1} \） 、その後、対角行列\（K \）倍良い数......
しかし、重大な制限、基本的なプッシュ。
DLSは、私は落ち、問題を押しました。
- ハミルトン - ケーリーの定理：
保持その特性多項式に行列の生成。
そして切り出します。
とにかく、この事だけ役割はすることです\（O（K \ログのk \ログn）を\） 内で解決\（K \）次線形回帰、あるいは左折テンプレートバレーエリアロスをバー（