いくつかの定義
グループ
セット\（G \）が非空である\（\ CDOT \）の定義である\（G \）にバイナリ操作。
いくつかの特性を以下に示す：
\（1 \）が閉じ：\（\ FORALL A、GにおけるB \、G \におけるA \ CDOT B \）
\（2 \）連想：\（\ A FORALL 、GでB、C \（A \ B CDOT）\ CDOT C = A \ CDOT（B \ CDOT C）\）
\（3 \）単位素子は：\（\ E \ Gは、に存在する\ A FORALL \ G、E \ CDOT A = A \）で
（\ 4 \）逆元：A ^をEXISTS \ \（\ FORALL A \ Gに{ - } 1 \ G、A ^に{ - } 1 \ CDOT。 A = A \ CDOT A ^ { - 1} = E \）
\（5 \）可換：\（\ FORALL A、B \ G、A \ B = B CDOT \ CDOT A \で）
満たす\（1 \）\（<G \ CDOT> \） と呼ばgroupoid又は代数システム。
これに基づき、会う\（2 \）の\（<Gは、\ CDOT> \） と呼ば半群。
これに基づいて、満足\（3 \）\（<G \ CDOT> \）が呼ばモノイドを。
これに基づいて、満足\（4 \）\（<G \ CDOT> \）が呼ばれるグループ。
これに基づいて、満足\（5 \）\（<G \ CDOT> \）が呼び出さアーベルを。
リング
セット\（R＆LT \）が非空である\（+、\ CDOT \） 2で定義されている\（R＆LT \）にバイナリ操作。
いくつかの特性を以下に示す：
\（1 <R＆LTは、+> \）と単位素子である\（0 \）交換モノイド。
\（1」<R、 +> \） と単位素子である\（0 \）交換基。
\（2 <R、\ CDOT > \）は半群です。
\（2」<R、 \ CDOT> \）は、 単位素子を有するある（1 \）\モノイドの。
\（2 '' <R 、\ CDOT> \） 可換半群です。
\（2 ''」< R \ setminus \ {0 \}、\ CDOT> \） 基です。
\（3 \）分配プロパティ：\（\ FORALL A、B、C \におけるR＆LT、（A + B）\ CDOT C = A \ B + C CDOT \ CDOT C、A \ CDOT（B + C）= A \ B + A CDOT \ CDOT C \）
\（4 \）オフセット法則：\（\ FORALL A \におけるR＆LT、A \ cdot0 = 0 \ CDOT A = 0 \）
を満足\（2」、3 、\（<R、+、\ CDOT> \） と呼ばれる半リング。
これを満たすに基づいて\（2 '' \）\（<\ R、+、 \ CDOT>） と呼ばれる切り替えハーフリング。
満足\（1」、2,3,4 \） A \（<R、+、\ CDOT> \） と呼ばれているリング。（実際には\（4 \）が形成されていてもよい3 \）\（リリース）
を満足\（1」、2' 、3,4 \）は\（<R、+、\ CDOT> \） と呼ばれ、単一リング。
満足\（1 '2' '、3,4 \）\（<R、+、\ CDOT> \）が呼び出され可換リング。
満足\（1」、2,2' 、3,4 \）\（<R、+、\ CDOT> \） と呼ばれる分割リング。
ドメイン
セット\（F. \）が非空である\（+、\ CDOT \） 2で定義されている\（R＆LT \）にバイナリ操作。
もし\（<F、+、\ CDOT> \） の交換に加えて、リングがあり、その後、\（<F、+、\ CDOT> \） 、それが呼び出されたドメイン。