1有限要素法の数学的基礎

• この章の要点
• 工学解析における数値解析手法とコンピュータ支援工学解析の基礎知識。
• 微分方程式の等価積分の弱形式。
• 有限要素法のコンポーネントモジュールと計算プロセス。
• 有限要素行列式の構築における重み付き残差法と仮想作業原理の役割。

1.1工学分析における数値解析手法

• エンジニアリングシステムを設計、構築、運用するには、エンジニアはまずこれらのエンジニアリングシステムの動作（構造特性、内部リンク、サブシステム）を完全に理解する必要があります
  • このプロセスはエンジニアリング分析です。
• 図1-1は、従来のエンジニアリング分析の手順を示しています。四角は、さまざまな分析段階のモデルを表しています。
  • 円は4つの分析ステップを表しています。
• これらの5つのモデルは、実際には同じものの異なる表現です。
  • エンジニアリングシステム：現実世界の現実のオブジェクト、
  • 分析モデル：簡略化された抽象モデル。
  • 数学の方程式はしばしば微分方程式の形をしています。
    • しかし、分析的または数値的なソリューション
    • 数値解がその場合、分析モデルは数値モデルと呼ばれます。

 

 

• エンジニアリング分析を行う場合、エンジニアは（CAE）を使用して図1-2の多くの手順を実行します。
• 数学的な方法やコンピューター支援エンジニアリング分析に慣れていない場合
  • 「方程式の構築」と「方程式の解法」、およびそれらに関連するモデル（解析モデル、数式、数値解）は、「ブラックボックス」にパックできます。
  • ブラックボックスは閉じたコンピューター処理コアを表しています。
    • コンピューターは自動的に分析モデルを数式に変換します
    • そして簡単に解決
    • 入力データはブラックボックスの外部に注入されます
    • 最終的な数値結果は、ブラックボックスの外側にもグラフで表示されます

 

 

• 図1-3は、コンピュータ支援エンジニアリング分析の手順を示しています。ブラックボックスは、エンジニアリング問題を解決するためのコンピュータプログラムを表しています。
  • 解析モデルが入力として使用され、数値解が出力として使用されます。
• 力学数学とコンピューター
  • 工学問題の微分方程式を解く方法を開発
  • FDM、FEM、境界要素法
  • 本質的に、ソリューショングリッドは離散化され、方程式を解くことにより数値結果が得られます。
• 最も成熟して広く使用されているのは、有限要素法です。

 

 

• コンピューター支援エンジニアリング分析を図1-2から図1-3に変更します。
• 有限要素解析法を使用する場合、図1-4は図1-2に対して特別です。
• 図1-4では、解析モデル（または有限要素モデル）と数値解はまだブラックボックスに入っています。
  • 「モデル方程式を構築する」と「方程式を解く」の2つのステップは「有限要素解析」に置き換えられます。「システムの数学モデルを構築する」ステップは、しばしば「前処理」と呼ばれます。
  • 「データ処理と表示」は「後処理」と呼ばれます
• 図1-4は、コンピュータ支援エンジニアリング分析を3つの主要なステップに分割しています
  • 前処理
  • 有限要素分析
  • 後処理

1.2微分方程式の等価積分形式

1.2.1微分方程式の制御

• 多くのエンジニアリング問題の性質は物理的な問題であり、制御の差動
  プロセスを使用して、材料変更の基本的なプロセスを説明できます。
• 空間、時間、時間遅延の確定的条件を考慮して、解くことができる境界値と
  初期条件が形成されます

• これは、微分方程式の基本的な未知の関数の微分演算子です。

 

• 波動方程式は