物理学における群論について語る 1: 群論の基礎とヒルベルト空間
私は、物理学における群理論の応用について話す新しいシリーズを開始する予定です。これには 2 つの利点があります。1 つは、群理論と関連する数学的概念の具体的な応用を理解し、これらの理論ツールの使用方法を理解することです。類推; しかし、これらの代数の概念は、そのような応用例を通じて順によりよく理解できます; 参考書籍は AWJoshi の <<Fundamentals of Group Theory in Physics>> であるため、この本の規則に従います。
群理論
グループは個別の要素のコレクションです。G ≡ { E , AG \equiv\{E, AG≡{ E 、A、B 、 C 、 D 、 ⋯ } B、 C、 D、 \cdots\}B 、C 、D 、⋯これらの要素には、次のプロパティを満たす複合ルール (加算、乗算、行列乗算など) が与えられます。
i) GGGのAAAとBB指定されたルールに基づいてBによって合成された要素はGGG、つまり
A ∘ B ∈ G , ∀ A , B ∈ GA \circ B \in G, \forall A, B \in Gあ○B∈G 、∀A 、_B∈G
このプロパティはグループの閉包と呼ばれます。
ii)単位元 (単位元または単位元) E ∈ GE \in GがあるE∈G 、すべてのA ∈ GA \in Gについてあ∈G :
E ∘ A = A ∘ E = AE \circ A=A \circ E=AE○あ=あ○E=あ
iii)任意の要素A ∈ GA \in Gについてあ∈G、一意の要素B ∈ GB \in GB∈G、そのような
∀ A ∈ G : ∃ B ∈ G ∋ A ∘ B = B ∘ A = E \forall A \in G: \exists B \in G \ni A \circ B=B \circ A=E∀A _∈G:∃B _∈G∋あ○B=B○あ=E
BBBはAAと呼ばれますAの逆(逆元)、AAAはBBとも呼ばれますBの逆。
iv)群要素の構成規則は結合法則を満たす、つまり、どのA、BA、Bについても満たします。あ、B ,c ∈ G c \in Gc∈G :
A ∘ ( B ∘ C ) = ( A ∘ B ) ∘ C , ∀ A , B , C ∈ GA \circ(B \circ C)=(A \circ B) \circ C, \forall A, B, C \inGあ○( B○C )=( A○B ）○C 、∀A 、_B 、C∈G
(変換群)物理学者は特に物理系の変換群に興味を持っています. 物理系を一定に保つ変換は系の対称変換と呼ばれます. たとえば, 中心を通る軸の周りの円の回転と,円の平面に垂直な方向は対称変換であり、分子内で 2 つの同一の原子の置換も分子の対称変換です。
ここで、上でマークした点の位置で正方形を変形する群、つまり次の群を考えます (読者はこれが定義に従って群であることを検証してみてください。証明は演習として残されます)。 :
たとえば、σ u C 4 = mx \sigma_u C_4=m_x であることを確認できます。pあなたC4=メートル×:
逆関数( C 4 ) − 1 = C 4 3 (C_4)^{-1}=C_4^3など、より複雑な演算もあります。( C4)− 1=C43または結合C 4 C 4 3 = C 4 3 C 4 = E C_4 C_4^3=C_4^3 C_4=EC4C43=C43C4=E :
次のグループ要素の関係を考慮してください。
A − 1 BA = CA^{-1}BA=Cあ− 1 BA=C
其中 A A A、BBBとCCCは群の要素 2 つの要素の場合BBBとCCC間にこのような関係がある場合、それらは共役要素と呼ばれ、上記の演算はBBB 通过 A A Aの相似変換。明らかに次のようになります。
ACA − 1 = B ACA^{-1}=BＡＣＡ_ _− 1=B
C 4 v C_{4v}を導出するのは難しくありません。C4v _グループ要素間の関係。例:
C 4 − 1 mx C 4 = 私の C_4^{-1} m_x C_4=m_yC4− 1メートル×C4=メートルはい
これはmx m_xを示しますメートル×和私メートルはい互いに共役します。行列理論では、共役は同様の行列に対応します。離散数学では、二項関係も学びました。実際、共役はグループ上の二項関係であり、二項関係と類似しています。除算の概念は次のことを示しています。グループはいくつかの集合に分割できるため、各集合内のすべての要素は互いに共役しますが、異なる集合に属する 2 つの要素は互いに共役しません。このような集合は、グループの共役クラス、または略称クラスと呼ばれます.C 4 v C_{4 v}C4v _クラス（部門）は次のとおりです。
( E ) 、 ( C 4 、 C 4 3 ) 、 ( C 4 2 ) 、 ( mx 、 my ) 、 ( σ u 、 σ v ) (E)、(C_4, C_4^3)、(C_4^2)、 (m_x, m_y),(\sigma_u, \sigma_v)( E ) 、( C4、C43）、( C42）、( m×、メートルはい）、( pあなた、pv)
(群の直積) H = ( H 1 ≡ E , H 2 , H 3 , ⋯ , H h ) H=(H_1 \equiv E, H_2, H_3, \cdots, H_h) とします。H=( H1≡え、H2、H3、⋯、Hふ)はぁ_次数h , K = ( K 1 ≡ E , K 2 , K 3 ⋯ K k ) K=(K_1 \equiv E, K_2, K_3 \cdots K_k)K=( K1≡え、K2、K3⋯Kｋ）は、 kです次数kの群も仮定されます。
i） HHHさんとKKさんK はEEを割りますE以外にパブリック要素はありません
ii） HHHのすべての要素はKKKの各要素は可換です (つまり、乗算は交換できます)。
HHを定義しますHさんとKKさんKの 2 つのグループの直積は、g = hkg=hkg=香港のグループGGG、その要素はHHHとKKの各要素Kの各要素の積。群の直接積は次のとおりです。
G = H ⊗ K = ( E , EK 2 , EK 3 , ⋯ , EK k , H 2 E , H 2 K 2 , ⋯ , H 2 K k , ⋯ , H h K k ) G=H \otimes K= (E, E K_2, E K_3, \cdots, E K_k, H_2 E, H_2 K_2, \cdots, H_2 K_k, \cdots, H_h K_k)G=H⊗K=( E 、E K2、E K3、⋯、E Kｋ、H2え、H2K2、⋯、H2Kｋ、⋯、HふKｋ)
C 4 v C_{4v}C4v _この概念の簡単な例は、 のサブグループです。次に例を示します。
( E , mx ) ⊗ ( E , my ) = ( E , C 4 2 , mx , my ) (E, m_x) \otimes(E, m_y)=(E, C_4^2, m_x, m_y)( E 、メートル×)⊗( E 、メートルはい)=( E 、C42、メートル×、メートルはい)
別の例はロボット アームからのもので、グリッパーのないロボット アームの変換グループがHHであると仮定します。H、回転チャックの変換群はKKK、ここでの変換は動きの自由度による部品の回転を指します。その場合、チャックに接続された機械アームの最終的な変換群は、対応する群の直積です G = H ⊗ KG=H \otimes KG=H⊗K：
