多項式
一. 数域
定義 1 PPとするP は、0 と 1 を含む複素数の集合です。PPP内の任意の 2 つの数値 (これら 2 つの数値が同じである場合もあります) (除数は 0 ではありません) の和、差、乗算、PPPの数値PPPは数値フィールドと呼ばれます。
例:
1. すべての有理数のセット (Q として表示)
2. すべての実数のセット (R として表示)
3. すべての複素数のセット (C として表示)
数値の集合PPの場合Pの任意の 2 つの数値に対して特定の演算を実行した結果は、PPPでは、数値の集合PPPはこの演算に閉じているので、数値フィールドの定義は、0 と 1 を含む数値集合PPP は加算、減算、乗算、除算に対して閉じられます(除数は 0 ではありません)。その後PPPは数値フィールドと呼ばれます。
例 1:すべての形式は
a + b 2 a + b \sqrt 2ある+b2
( a、ba、bの数)、_bは任意の有理数) で数値フィールドを形成します。通常は Q(2 \sqrt22) この数値フィールドを表すために
使用されます。
、_bが有理数の場合、b 2 b \sqrt 2b2も有理数です。
有理数 + 有理数 = 有理数
有理数 - 有理数 = 有理数
明らかに、数値の集合 Q( 2 \sqrt 22) には 0 と 1 が含まれており、加算と減算が閉じられています。
乗法閉包の場合:
( a + b 2 ) ( c + d 2 ) = ( ac + 2 bd ) + ( ad + bc ) 2 (a + b \sqrt 2 )(c + d \sqrt 2 ) = (ac + 2bd) + (ad + bc)\sqrt 2( _+b2) ( c+d2)=( a c+2bd ) _ _+( _ _+b c )2
因みに、a、b、c、da、b、c、d、_b 、c 、dは有理数なので、ac + 2 bd , ad + bc ac + 2bd,ad + bcac _+2 b d 、ad _+b c は有理数でもあり、( a + b 2 ) ( c + d 2 ) (a + b \sqrt 2 )(c + d \sqrt 2 ) を意味します。( _+b2) ( c+d2)はまだ Q(2 \sqrt22)、つまり Q( 2 \sqrt22) は乗算に対して閉じられます。
除算の閉包の場合: a + b 2 = / 0 a + b \sqrt 2 {=}\mathllap{/\,}0 とします
。ある+b2=/0なので、a − b 2 = / 0 a - b \sqrt 2 {=}\mathllap{/\,}0ある−b2=/0 (one one)、 a + b 2 = / 0 a − ( − b 2 ) = / 0 a − 0 = / b 2 a = / b 2 a − b 2 = / 0 \begin{align} a + を示します。
b \sqrt 2 &{=}\sqrt{/\,}0 \\a - (-b \sqrt 2) &{=}\sqrt{/\,}0 \\a - 0 &{=}\ 平方2 \\ a &{=}\square{/\,}b \square 2 \\ a - b \square 2 &{=}\square{/\,} 0 \end {align}ある+b2ある−( − b2)ある−0あるある−b2=/0=/0=/b2=/b2=/0
ただし
c + d 2 a + b 2 = ( c + d 2 ) ( a − b 2 ) ( a + b 2 ) ( a − b 2 ) = ac − 2 bda 2 − 2 b 2 + ad − 2 bca 2 − 2 b 2 2 , \begin{equation} \begin{split} \frac{c + d \sqrt 2}{a + b \sqrt 2} & = \frac{(c + d \sqrt 2)(a - b \sqrt 2)}{(a + b \sqrt 2)(a - b \sqrt 2)} \\ &= \frac{ac-2bd}{a^2 - 2b^2} + \frac{ad- 2bc}{a^2 - 2b^2}\sqrt 2, \end{split} \end{equation}ある+b2c+d2=( _+b2) ( _−b2)( c+d2) ( _−b2)=ある2−2b _2ac _−2bd _ _+ある2−2b _2ad _−2 b c2、
因みに、a、b、c、da、b、c、d、_b 、c 、dは有理数なので、a 2 − 2 b 2 a^2 - 2b^2ある2−2b _2はゼロ以外の有理数ac − 2 bda 2 − 2 b 2 \frac{ac-2bd}{a^2 - 2b^2}ある2 −2b2a c − 2 b d, ad − 2 bca 2 − 2 b 2 \frac{ad-2bc}{a^2 - 2b^2}ある2 −2b2a d − 2 b cも有理数です。その場合、Q( 2 \sqrt22) は割り算のために閉じられています。
要約すると、Q( 2 \sqrt22) は数値フィールドです。
例 2： 所有可以表成形式
a 0 + a 1 π + . . . + a n π n b 0 + b 1 π + . . . + b m π m \frac{a_0+a_1 \pi +... \ +a_n \pi^n }{b_0+b_1 \pi +... \ +b_m \pi^m } b0+b1円周率+... +bメートル円周率メートルある0+ある1円周率+... +あるん円周率ん
配列は数値フィールドを形成します。ここで、n、m は負ではない整数、ai 、 bj ( i = 0 , . . . , n ; j = 0 , . . . , n ; ) a_i,b_j(i=0) , ... \ ,n;j=0,... \ ,n;)ある私は、bj(私は=0 、... 、 n ;j=0 、... 、 n ;)条件.出力
:
1.出力:
a 0 + a 1 π + 。. . . . . . . . + an π nb 0 + b 1 π + . . . . . . . . + bm π m + c 0 + c 1 π + . . . . . . . . + cn π nd 0 + d 1 π + . . . . . . . . + dm π m = a 0 + c 0 + ( a 1 + c 1 ) π + . . . . . . . . + ( an + cn ) π nb 0 + d 0 + ( b 1 + d 1 ) π + . . . . . . . . + ( bm + dm ) π m \frac{a_0+a_1 \pi +... \ +a_n \pi^n }{b_0+b_1 \pi +... \ +b_m \pi^m } + \frac{ c_0+c_1 \pi +... \ +c_n \pi^n }{d_0+d_1 \pi +... \ +d_m \pi^m }= \\ \fraction_0+ c_0 + (a_1 + c_1) \ pi + ... \ +(a_n+ c_n) \pi^n }{b_0+ d_0+(b_1+d_1) \pi +... \ +(b_m+d_m) \pi^m }b0+b1円周率+... +bメートル円周率メートルある0+ある1円周率+... +あるん円周率ん+d0+d1円周率+... +dメートル円周率メートルc0+c1円周率+... +cん円周率ん=b0+d0+( b1+d1) p+... +( bメートル+dメートル) pメートルある0+c0+( _1+c1) p+... +( _ん+cん) pん
l、kl、kとしましょうl 、kは任意の非負の整数、al 、 bk a_l、b_kある私、bｋan、cn a_n、c_n
なので整数ですあるん、cんが整数の場合、+ cn、bm + dm a_n+ c_n、b_m+ d_mあるん+cん、bメートル+dメートルも整数の場合、ll
になりますいつでもal a_lを見つけることができますある私、make + cn = a_n+ c_n = a_lあるん+cん=ある私
Kでbk b_k は常にkで見つかりますbｋ、つまりbm + dm = bk b_m+ d_m = b_kbメートル+dメートル=bｋ
そして、l、k、n、m はすべて非負の整数であり、相互に変換できるため、加算の閉包が確立されます。
2.引き算の近さ：同じように足し算をします。
3. 乘法動生性：
( a 0 + a 1 π + . . . + an π nb 0 + b 1 π + . . . + bm π m ) ( c 0 + c 1 π + . . . + cn π nd 0 + d 1 π + . . . + dm π m ) = a 0 c 0 + ( a 0 c 1 ) π + . . . + dm π m ) = a 0 c 0 + ( a 0 c 1 ) π + . 。。+ ( ancn ) π nb 0 d 0 + ( b 0 d 1 ) π + 。。。+ ( bmdm ) π m (\frac{a_0+a_1 \pi +... \ +a_n \pi^n }{b_0+b_1 \pi +... \ +b_m \pi^m } ) (\frac{ c_0+c_1 \pi +... \ +c_n \pi^n }{d_0+d_1 \pi +... \ +d_m \pi^m })= \\ \frac{a_0c_0 + (a_0 c_1) \pi +... \ +(a_nc_n) \pi^n }{b_0d_0+(b_0d_1) \pi +... \ +(b_md_m) \pi^m }(b0+b1円周率+... +bメートル円周率メートルある0+ある1円周率+... +あるん円周率ん) (d0+d1円周率+... +dメートル円周率メートルc0+c1円周率+... +cん円周率ん)=b0d0+( b0d1) p+... +( bメートルdメートル) pメートルある0c0+( _0c1) p+... +( _んcん) pん
l、kl、kとしましょうl 、kは任意の非負の整数、al 、 bk a_l、b_kある私、bｋan、cn a_n、c_n
なので整数ですあるん、cんが整数の場合、ancn、bmdm a_nc_n、b_md_mあるんcん、bメートルdメートルも整数の場合、ll
になりますいつでもal a_lを見つけることができますある私,使得 a n c n = a l a_nc_n = a_l あるんcん=ある私
Kでbk b_k は常にkで見つかりますbｋ、bmdm = bk b_md_m = b_kとなります。bメートルdメートル=bｋ
また、l、k、n、m はすべて非負の整数であり、相互に変換できるため、乗算の閉包が確立されます。
4. 割り算の近さ: 式が分数であることに注意してください。分数で割ることは、この分数の逆数を掛けることと同じであり、掛け算と同じであるため、割り算の近さも確立されます。
要約すると、このフォームは数値フィールドです。
例 3 : すべての奇数で構成される数値セットは、乗算では閉じられますが、加算と減算では閉じられません。2のすべての整数倍は、加算と減算に対しては閉じられた数値セットを形成しますが、乗算と除算に対しては閉じられていません。もちろん、上記 2 つの数値セットは数値フィールドではありません。最後に、数値フィールドの重要な特性を指摘します。 .
すべて の数値フィールドには、その一部として有理数フィールドが含まれます。