报童问题 (The Newsvendor Problem)

引言

本文介绍了一个经典的商品采购模型(报童问题)及其解法. 该模型通过考虑需求的不确定性来最大化销售利润. 注: 本文的主要内容参考Gallego¹.

1. 报童问题

这是一个关于卖报商人采购报纸的问题. 每天早上, 卖报商以批发价0.3元(每份)向报社采购当天的报纸, 然后以零售价1元(每份)进行售卖. 如果报纸在当天没有卖完, 他会把报纸以0.05元(每份)的价格卖给废品回收站. 那么卖报商应该如何确定报纸的采购数量?

我们先简单分析一下这个问题的特点:

1. 采购一个商品.
2. 在一个采购周期内仅采购一次.
3. 采购之时不知道准确的需求.
4. 商品会过期.

2. 数学模型

下面我们用数学语言把这个问题再描述一下.

参数

• 单位采购成本(cost per unit): $c$
• 零售价(sale price): $p$
• 残值(salvage value), 即商品过期之后的售价: $s$
• 需求(demand): 随机变量 $D$服从分布 $F$, 均值和标准差分别记为 $\mu, \sigma$

决策变量

• 采购量: $x$

目标

• 最大化期望收益 $\pi(x) := p \cdot \mathbb{E}[\min(x, D)] + s\cdot \mathbb{E}[\max(x-D, 0)] - cx$

不失一般性, 我们假设 $p>c>s$, 否则问题的最优解是显而易见的.

3. 求解

记 $x^+ := \max(x, 0), x^-:=\min(x, 0)$. 因此 $x=x^+ + x^-$, $x^- = -(-x)^+$. 利用 $\min(x, D) = D - (D-x)^+$, 我们可以把 $\pi(x)$表示成如下形式:

$\pi(x) = (p-c)\mu - \alpha(x),$

其中

$\alpha(x) = (c-s)\mathbb{E}[(x-D)^+] + (p-c)\mathbb{E}[(D-x)^+].$

因此 $\max \pi(x) \Leftrightarrow \min \alpha(x)$. 记 $h = c-s$, $b=p-c$. 则 $h, b$分别代表采购过量(overage)和少量(underage)的单位成本.

令 $f(z) = hz^+ - bz^-$. $\alpha(x)$可以被写成

$\alpha(x)=\mathbb{E}[f(x-D)].$

由于 $f(z)$是凸函数, 它的线性变换 $\alpha(x)$也是凸函数, 当 $F$是连续分布时, 最优解的一阶导数为0. 我们可以通过交换积分号导, 即

$\alpha'(x) = h\cdot \mathbb{E}[\delta(x-D)] - b\cdot \mathbb{E}[\delta(D-x)]$

其中 $\delta(z)=1$ 如果 $z>0$, 否则 $\delta(z)$为0.

注意到 $\mathbb{E}[\delta(x-D)] = Pr(x-D>0)$且 $\mathbb{E}[\delta(D-x)] = Pr(D-x>0)$. 我们有

$\alpha'(x)= h \cdot Pr(D < x) - b \cdot Pr(D>x).$

令 $\alpha'(x)=0$, 我们得到

$F(x) := Pr(D\leq x) = \frac{b}{b+h}.$

临界分位数(Critical Fractile)
$\gamma = \frac{b}{b+h}.$

由于 $F$是随机变量 $D$的cdf(cumulative distribution function) (单调非递减), 因而存在逆函数. 设最优解为 $x^*$, 因此
$x^* = F^{-1}(\gamma).$

4. 例子

本节考虑两个具体的例子. 一个是 $D$服从正态分布(连续分布), 可以按照前文的公式计算最优解; 另一个例子是 $D$服从Poisson分布, 我们介绍如何把计算方法适配到离散分布的情形.

4.1 正态分布

$D\sim N(\mu,\sigma^2)$. 令 $Z\sim N(0, 1)$, $\Phi(z) = Pr(Z\leq z)$且 $z_{\gamma} = \Phi^{-1}(\gamma)$.
由于
$Pr\left(\frac{D-\mu}{\sigma}\leq z_{\gamma}\right) = \Phi(z_{\gamma}) = \gamma.$
因此
$x^* = \mu + z_{\gamma}\sigma.$

例 $D$服从正态分布, $\mu=100$, $\sigma=20$. 设 $c=5$, $h=1$, $b=3$. 我们的计算步骤如下:

1. $\gamma = \frac{b}{h+b} = 0.75$
2. $z_{\gamma} = \Phi^{-1}(0.75) = 0.6745$

   # python
   >>> from scipy.stats import norm
   >>> norm.ppf(0.75)
   0.6744897501960817
   

3. $x^*=\mu + z_{\gamma} \cdot \sigma = 100 + 0.6745 * 20 = 113.49$

4.2 Poisson分布

Poisson分布的pmf (probability mass function)为

$Pr(D=k) = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!}.$

由于Possion分布是离散分布(对任意的 $\gamma$, $F^{-1}(\gamma)$不一定可计算), 我们令
$x^* = \arg\min_x \{x\in \mathbb{N}\mid Pr(D\leq x) \geq \gamma\}.$

例 $D$服从Poisson分布, $\lambda=25$. 设 $c=5$, $h=1$, $b=3$. 我们的计算步骤如下:

1. $\gamma = \frac{b}{h+b} = 0.75$
2. 利用二分法找到最小的整数 $x^*$使得 $F(x^*)\geq 0.75$(其中 $F$是随机变量 $D$的cdf).

   # python
   >>> from scipy.stats import poisson
   >>> poisson(25).cdf(27)
   0.7001861449652768
   >>> poisson(25).cdf(28)
   0.763400741866402
   

3. $x^*=28$

5. 总结

1. 报童问题是商品采购问题的一个例子. 对该问题的研究和求解可以指导我们在实际中优化采购计划, 从而提高商品的销售利润.
2. 但在实际中制定商品的采购计划时, 我们的目标与约束一般会比报童问题复杂(例如考虑库存成本), 因此需要根据实际问题进行建模和求解, 不能盲目照搬已有的模型.
3. 制定采购计划之前可以采用需求预测(销量预测), 但同时也要考虑销量的随机性(详情见《如何在商品采购中考虑不确定性》).

参考文献

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1. Guillermo Gallego. “IEOR 4000 Production Management Lecture 7”. Columbia University, 2005. ↩︎