背包问题(Knapsack Problem)

说明

假设有一个背包的负重最多可达8公斤，而希望在背包中装入负重范围内可得之总价物品，假设是水果好了，水果的编号、单价与重量如下所示：

0	李子	4KG	NT$4500
1	苹果	5KG	NT$5700
2	橘子	2KG	NT$2250
3	草莓	1KG	NT$1100
4	甜瓜	6KG	NT$56700

解法

背包问题是关于最佳化的问题，要解最佳化问题可以使用「动态规划」（ Dynamicprogramming），从空集合开始，每增加一个元素就先求出该阶段的最佳解，直到所有的元素加入至集合中，最后得到的就是最佳解。

以背包问题为例，我们使用两个阵列value与item， value表示目前的最佳解所得之总价， item表示最后一个放至背包的水果，假设有负重量 1～8的背包8个，并对每个背包求其最佳解。
逐步将水果放入背包中，并求该阶段的最佳解：

放入李子：

背包负重	1	2	3	4	5	6	7	8
value	0	0	0	4500	4500	4500	4500	9000
item	--	--	--	0	0	0	0	0

放入苹果：

背包负重	1	2	3	4	5	6	7	8
value	0	0	0	4500	5700	5700	5700	9000
item	--	--	--	0	1	1	1	0

放入橘子

背包负重	1	2	3	4	5	6	7	8
value	0	2550	2550	4500	5700	6750	7950	9000
item	--	2	2	0	1	2	2	0

放入草莓

背包负重	1	2	3	4	5	6	7	8
value	1100	2250	3350	4500	5700	6800	7950	9050
item	3	2	3	0	1	3	2	3

放入甜瓜

背包负重	1	2	3	4	5	6	7	8
value	1100	2250	3350	4500	5700	6800	7950	9050
item	3	2	3	0	1	3	2	3

由最后一个表格，可以得知在背包负重8公斤时，最多可以装入9050元的水果，而最后一个装入的水果是3号，也就是草莓，装入了草莓，背包只能再放入7公斤（ 8-1）的水果，所以必须看背包负重7公斤时的最佳解，最后一个放入的是2号，也就是橘子，现在背包剩下负重量5公斤（ 7-2），所以看负重5公斤的最佳解，最后放入的是1号，也就是苹果，此时背包负重量剩下0公
斤（ 5-5），无法再放入水果，所以求出最佳解为放入草莓、橘子与苹果，而总价为9050元。

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>

#define	LIMIT 8 // 重量限制
#define	N 5 // 物品种类
#define	MIN 1 // 最小重量

struct body{
	char name[20];
	int size;
	int price;
};

typedef struct body object;

int main(void){
	int item[LIMIT + 1] = { 0 };
	int value[LIMIT + 1] = { 0 };
	int newvalue, i, s, p;
	object a[] = { { "李子", 4, 4500 },
	{ "苹果", 5, 5700 },
	{ "橘子", 2, 2250 },
	{ "草莓", 1, 1100 },
	{ "甜瓜", 6, 6700 } };
	for (i = 0; i<N; i++){
		for (s = a[i].size; s <= LIMIT; s++){
			p = s - a[i].size;
			newvalue = value[p] + a[i].price;
			if (newvalue>value[s]){// 找到阶段最佳解
				value[s] = newvalue;
				item[s] = i;
			}
		}
	}
	printf("物品\t价格\n");
	for (i = LIMIT; i >= MIN; i = i - a[item[i]].size){
		printf("%s\t%d\n",
			a[item[i]].name, a[item[i]].price);
	}
	printf("合计\t%d\n", value[LIMIT]);

	while (1);
	return 0;
}

背包问题(Knapsack Problem)

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