面试题12. 矩阵中的路径

请设计一个函数，用来判断在一个矩阵中是否存在一条包含某字符串所有字符的路径。路径可以从矩阵中的任意一格开始，每一步可以在矩阵中向左、右、上、下移动一格。如果一条路径经过了矩阵的某一格，那么该路径不能再次进入该格子。例如，在下面的3×4的矩阵中包含一条字符串“bfce”的路径。

[[“a”,“b”,“c”,“e”],
[“s”,“f”,“c”,“s”],
[“a”,“d”,“e”,“e”]]

但矩阵中不包含字符串“abfb”的路径，因为字符串的第一个字符b占据了矩阵中的第一行第二个格子之后，路径不能再次进入这个格子。

示例：

输入：board = [[“A”,“B”,“C”,“E”],[“S”,“F”,“C”,“S”],[“A”,“D”,“E”,“E”]], word = “ABCCED”
输出：true

解题思路：

本问题是典型的矩阵搜索问题，可使用 深度优先搜索（DFS）+ 剪枝 解决。

算法原理：

• 深度优先搜索： 可以理解为暴力法遍历矩阵中所有字符串可能性。DFS 通过递归，先朝一个方向搜到底，再回溯至上个节点，沿另一个方向搜索，以此类推。
• 剪枝： 在搜索中，遇到 这条路不可能和目标字符串匹配成功 的情况（例如：此矩阵元素和目标字符不同、此元素已被访问），则应立即返回，称之为 可行性剪枝 。

算法剖析：

• 递归参数： 当前元素在矩阵 board 中的行列索引 i 和 j ，当前目标字符在 word 中的索引 k 。
• 终止条件：
  1. 返回 $false$ ： ① 行或列索引越界 或 ② 当前矩阵元素与目标字符不同 或 ③ 当前矩阵元素已访问过 （③ 可合并至 ② ） 。
  2. 返回 $true$ ： 字符串 word 已全部匹配，即 k = len(word) - 1 。
• 递推工作：
  1. 标记当前矩阵元素： 将 board[i][j] 值暂存于变量 tmp ，并修改为字符 '/' ，代表此元素已访问过，防止之后搜索时重复访问。
  2. 搜索下一单元格： 朝当前元素的 上、下、左、右 四个方向开启下层递归，使用 或 连接 （代表只需一条可行路径） ，并记录结果至 res 。
  3. 还原当前矩阵元素： 将 tmp 暂存值还原至 board[i][j] 元素。
• 回溯返回值： 返回 res ，代表是否搜索到目标字符串。

图解中，从每个节点 DFS 的顺序为：下、上、右、左。

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复杂度分析：

$M,N$ 分别为矩阵行列大小， $K$ 为字符串 word 长度。

• 时间复杂度 O(3KMN)O(3^KMN)O(3KMN) ： 最差情况下，需要遍历矩阵中长度为 $K$ 字符串的所有方案，时间复杂度为 O(3K)O(3^K)O(3K)；矩阵中共有 $MN$ 个起点，时间复杂度为 $O(MN)$ 。
  • 方案数计算： 设字符串长度为 $K$ ，搜索中每个字符有上、下、左、右四个方向可以选择，舍弃回头（上个字符）的方向，剩下 $3$ 种选择，因此方案数的复杂度为 O(3K)O(3^K)O(3K) 。
• 空间复杂度 $O(K)$ ： 搜索过程中的递归深度不超过 $K$ ，因此系统因函数调用累计使用的栈空间占用 $O(K)$ （因为函数返回后，系统调用的栈空间会释放）。最坏情况下 $K=MN$ ，递归深度为 $MN$ ，此时系统栈使用 $O(MN)$ 的额外空间。

class Solution:
    def exist(self, board: List[List[str]], word: str) -> bool:
        def dfs(i, j, k):
            if not 0<=i<len(board) or not 0<=j<len(board[0]) or board[i][j] != word[k]:
                return False
            if k == len(word)-1:
                return True
            temp, board[i][j] = board[i][j], '/'
            res = dfs(i + 1, j, k + 1) or dfs(i - 1, j, k + 1) or dfs(i, j+1, k + 1) or dfs(i, j-1, k + 1)
            board[i][j] = temp
            return res 

        for i in range(len(board)):
            for j in range(len(board[0])):
                if dfs(i,j,0):
                    return True
        return False

其中图来自https://leetcode-cn.com/problems/ju-zhen-zhong-de-lu-jing-lcof/solution/mian-shi-ti-12-ju-zhen-zhong-de-lu-jing-shen-du-yo/
来源：力扣（LeetCode）
链接：https://leetcode-cn.com/problems/ju-zhen-zhong-de-lu-jing-lcof

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