编译原理中first和follow的计算方法

书上的定义和计算公式（以及解释）属于太长不看系列……这里试着用更简单的方式来进行表述。

概括下来，计算的时候，first看产生式的左部，follow看产生式的右部；first看第一个，follow看全部。还是用书上的例子好了：

E —> TE'
E'-> +TE'|ε
T -> FT'
T'-> *FT'|ε
F -> (E)|id

可能会看得不那么清楚。拆开来看好了：

E —> TE'
E'-> +TE'
E'-> ε
T -> FT'
T'-> *FT'
T'-> ε
F -> (E)
F -> id

计算first的时候，从左部开始，找到需要计算的目标，然后就用产生式一步一步展开，找到第一个终结符即可：

first(F)  = {(, id}
first(E') = {+, ε}
first(T') = {*, ε}
first(T)  = first(FT')
          = first(F)
          = {(, id}
first(E)  = first(TE') 
          = first(FT'E') 
          = first(F)
          = {(, id}

相比起follow，first的计算还是比较简单的。需要注意的是，first(FT’) ≠ first(F)∪first(T’)，我们求的是这个整体的第一个非终结符，而不是两部分各自的第一个非终结符。

至于follow，因为follow是要找到目标非终结符后面的第一个终结符，所以需要分类讨论。比如，对于产生式A -> aBb来说，假如我们要求follow(B)：

• 如果b不为空（ε），那么就很好办了，此时follow(B) = first(b)。

  为什么？B后面的第一个不就是b的第一个吗？

• 如果不为空（ε），但可以推导出空（ε），那么我们要跳过为空的部分，此时follow(B) = first(b) - {ε}。这个应该不用多解释，相当于跳过为空的部分。

• 如果b为空（ε），那么相当于B后面没有东西了，此时follow(B) = follow(A)。

  为什么？这时候产生式相当于是A -> aB，B后面的第一个不就是A后面的第一个吗？

在具体计算的时候，为了避免遗漏，个人感觉可以加一些tricky的处理，加一个产生式：

E -> $E$  // here
E —> TE'
E'-> +TE'
E'-> ε
T -> FT'
T'-> *FT'
T'-> ε
F -> (E)
F -> id

添加这个产生式可以有效避免忘记把$加进follow里。计算还是比较简单的，找到右边有目标的，然后按照刚才的流程走一遍就行了。比如，对于follow(E)，右边包含E的产生式有E -> $E$和F -> (E)，而且右边不为空，所以：

follow(E) = first($) ∪ first()) 
          = {), $}

对于follow(E’)，右边包含E’的产生式有E -> TE'和E'-> +TE'，可以看到E’右边都为空。所以：

follow(E') = follow(E) ∪ follow(E')
          = {), $}

需要注意的一点是，出现类似于递归的情况的时候，直接去掉就好了；我们只考虑最小的情况。

对于follow(F)，这个稍微复杂一点，右边包含F的产生式有T -> FT'和T'-> *FT'，F右边第一个是T’，既可以不为空，但是可以推导出空，又可以直接为空，所以需要取个并集：

follow(F) = follow(T) ∪ follow(T') ∪ (first(T') - {ε})
          = {+, ), $} ∪ {+, ), $} ∪ {*}
          = {*, +, ), $}

可能有一个地方还没有解释，什么叫“first看第一个，follow看全部”？因为按照定义，first是第一个符号，但follow是紧跟在目标后边的终结符的集合，并没有说只有一个。举例来说，对于产生式S -> A a A b | B b B a来说，first(A) = ε，但follow(A) = {a, b}，差别就在这了。这也是我觉得非常神秘的一个地方。