神奇的四次方数（洛谷P1679题题解，Java语言描述）

题目要求

P1679题目链接

分析

可以使用DP去做，当做“完全背包问题”问题来处理。

初值： $f[0]=0$

$cost[]$ ： $cost[i] = i*i*i*i$

状态转移方程： $f[j] = Math.min(f[j], f[j-cost[i]]+1)$

AC代码（Java语言描述）

import java.util.Arrays;
import java.util.Scanner;

public class Main {
    public static void main(String[] args) {
        Scanner scanner = new Scanner(System.in);
        int num = scanner.nextInt();
        scanner.close();
        int[] f = new int[num+1];
        Arrays.fill(f, (int)1e8);
        f[0] = 0;
        int limit = (int)Math.pow(num, 0.25);
        int[] cost = new int[limit+1];
        for (int i = 0; i <= limit; i++) {
            cost[i] = i*i*i*i;
        }
        for(int i = 1; i <= limit; i++) {
            for(int j = cost[i]; j <= num; j++) {
                f[j] = Math.min(f[j], f[j-cost[i]]+1);
            }
        }
        System.out.println(f[num]);
    }
}

拓展

如果把四次方数改为平方数，就可以依据“拉格朗日四平方和定理”来求解。

拉格朗日四平方和定理

强势安利“ $拉格朗日四平方和定理$”：每个正整数均可表示为 $4$ 个整数的平方和。

定理内容
每个正整数均可表示成 $4$ 个整数的平方之和。

定理说明
注意有些整数不可表示为 $3$ 个整数的平方和，例如 $7$。

重要的推论

1. 数 n 如果只能表示成四个整数的平方和，不能表示成更少的数的平方之和，必定满足 $4a(8b+7)$。
2. 如果 $n$， $k=\frac{n}{4}$， $n$ 和 $k$ 可由相同个数的整数表示。

定理证明
$from$ 知乎

如何利用推论求一个正整数最少需要多少个数的平方和表示

1. 先判断这个数是否满足 $4a(8b+7)$，如果满足，那么这个数就至少需要 $4$ 个数的平方和表示。
2. 如果不满足，再在上面除以 $4$ 之后的结果上暴力尝试只需要 $1$ 个数就能表示和只需要 $2$ 个数就能表示的情况。
3. 如果还不满足，那么就只需要 $3$ 个数就能表示。