圆锥曲线总结

background:博主菜到退役，灰溜溜 回去准备高考，于是有了这篇小结。

1.切点弦(极线)解析式

1.定义
过定点 $(x_0,y_0)$，作圆锥曲线的两条切线，连接切点构成的弦叫切点弦。(也叫 $(x_0,y_0)$的极线)
2.解析式
对于圆 $(x-a)^2+(x-b)^2=r^2$，切点弦解析式：
$(x-a)(x_0-a)+(y-b)(y_0-b)=r^2$
对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，切点弦解析式:
$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=1$
对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，切点弦解析式:
$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=1$
对于抛物线 $y^2=2px$，切点弦解析式:
$yy_0=p(x+x_0)$
注意：以上公式不可直接在大题使用。

2.三角形面积相关

1.椭圆焦点三角形
对于椭圆C: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，P为其上面非长轴端点的一点，那么三角形 $PF_1F_2$就叫焦点三角形。设角 $F_1PF_2$为 $\alpha$， $PF_1$和 $PF_2$分别为 $r_1，r_2$。那么将会有以下两个结论：
$S_{焦点三角形}=b^2\tan \frac{\alpha}{2}$
$r_1r_2=\frac{2b^2}{1+\cos \alpha}$

2.双曲线焦点三角形
对于双曲线C: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，P为其上面非实轴端点的一点，那么三角形 $PF_1F_2$就叫焦点三角形。设角 $F_1PF_2$为 $\alpha$， $PF_1$和 $PF_2$分别为 $r_1，r_2$。那么将会有以下两个结论：
$S_{焦点三角形}=b^2\cot \frac{\alpha}{2}$
$r_1r_2=\frac{2b^2}{1-\cos \alpha}$
3.抛物线焦点三角形
对于抛物线F: $y^2=2px$，设A，B为抛物线上相异两点，直线AB过焦点F，O为坐标原点，那么三角形OAB叫焦点三角形。设AB的倾斜角为 $\alpha$，那么有以下结论：

$S_{焦点三角形}=\frac{p^2}{2\sin\alpha}$

3.焦点弦

设 $A(x_0,y_0)$为圆锥曲线上一点，F为焦点，|AF|为r，O是坐标原点。

1.角度表示弦长(p为焦准距)
$r=\frac{ep}{1-e\cos\alpha}$
对于椭圆， $\alpha$指的是角OFA。
对于双曲线， $\alpha$指的是角OFA的补角。
对于抛物线， $\alpha$指的是角OFA的补角。
记忆：可以把 $\alpha$理解为靠近曲线"内侧"的角。

2.坐标表示弦长
对于椭圆，r=a± $ex_0$(左加右减)或a± $ey_0$(下加上减)。
对于双曲线，r=| $ex_0$±a|(左加右减)或| $ey_0$±a|(下加上减)。
对于抛物线，r=到准线距离。

4.椭圆(C: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b)$)

第一定义:平面内与两定点 $F_1,F_2$的距离的和等于常数 $2a（2a>|F_1F_2|）$的动点P的轨迹叫做椭圆。

第二定义:平面内到定点 $（c，0）$的距离和到定直线 $l:x=\frac{a^2}{c}$（ $F$不在 $l$上）的距离之比为常数 $\frac{c}{a}$（即离心率e ，0<e<1）的点的轨迹是椭圆。

第三定义:到两定点(±a，0)的斜率之积为定值 $-\frac{b^2}{a^2}$的动点轨迹是一个椭圆。(注意去掉了长轴端点)

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结论1：过原点的直线与椭圆交于A，B，设P为椭圆上异于A，B的动点。设PA斜率为 $k_{PA}$，PB斜率为 $k_{PB}$，那么有结论：
$k_{PA}k_{PB}=-\frac{b^2}{a^2}$
这条结论很好记忆，可以结合仿射坐标系下椭圆对应的圆的性质记忆：圆直径所对圆周角是直角。

结论2：(中点弦)设AB为椭圆的一条弦，M为弦的中点，O为坐标原点。设AB的斜率为 $k_{AB}$，OM的斜率为 $k_{OM}$，那么有结论：
$k_{AB}k_{OM}=-\frac{b^2}{a^2}$
这条结论依然可以结合仿射坐标系下椭圆对应圆的性质记忆：圆心和弦中点的连线垂直于弦(垂径定理)。

结论3:设 $P(x_0,y_0)$为椭圆上异于长轴端点的定点，O为坐标原点。那么过P的两条直线分别与椭圆交于另外两点A，B。设这两条直线斜率分别为 $k_1,k_2$，AB斜率为 $k_{AB}$，OP斜率为 $k_{OP}$，那么有结论：
$若k_1+k_2=0，则k_{OP}k_{AB}=\frac{b^2}{a^2}$
$若k_1k_2=-1，则AB过定点(\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}x_0，-\frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}y_0)$
对于第一条结论，依然可以结合仿射坐标系下椭圆对应的圆进行几何证明：证明P关于x轴的对称点与O的连线垂直于弦AB，可以用垂径定理和三线合一轻松证明。
对于第二条结论，我暂时没有找到简单的非爆算证明方法，只能背了。

结论4：设AB为椭圆的过焦点的弦，C为该焦点对应准线与x轴的焦点，O为坐标原点。那么有结论：
$OC平分\angle ACB。$
证明显然，利用椭圆第二定义和角平分线定理的逆定理可证明。

结论5：(蒙日圆)在椭圆（双曲线）中，两条互相垂直的切线的交点的轨迹是一个圆，它的圆心是椭圆中心，半径等于长半轴短半轴平方和（差）的算术平方根，这个圆叫蒙日圆。解析法可证明。

结论6：(光学性质)从椭圆的一个焦点出发的光线经过反射会经过另一个焦点。这里入射角和反射角指的是光线与反射点切线形成的角。翻译成数学语言，即若两条直线交于椭圆上一点，与椭圆上该点处切线所成角相等，且其中一条直线过焦点，那么另外一条直线过焦点。

结论7：设P，Q为椭圆上两个动点，O为坐标原点。若OP垂直OQ，那么有结论： $\frac{1}{|OP|^2}+\frac{1}{|OQ|^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}$
这个结论可以利用极坐标系计算证明。结合均值不等式，可以衍生出很多最值问题。

结论8：以焦半径为直径的圆与以长轴为直径的圆相切。

结论9：设P为椭圆内一点，那么被点P平分的弦的方程为
$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{b^2}$
这个结论是结论2的推论.也可以用仿射坐标系证明：仿射坐标系下需要证明的解析式变为 $xx_0+yy_0=x_0^2+y_0^2$，可以证明这个直线垂直于O’P’且经过P’，所以命题得证。

结论10：设P为椭圆内一点，那么过P的弦的中点的轨迹为：
$\frac{xx_0}{a^2}+\frac{yy_0}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$
可以证明仿射坐标系下的解析式是以O’P’为直径的圆，简单推导即可证明，也可以用点差法或结合结论2证明。

结论11：（配极原理）准线上的点对应的切点弦过准线对应的焦点。

5.双曲线(C: $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$)

定义1：平面内与两个定点 $F_1$， $F_2$的距离的差的绝对值等于一个常数 $2a$（ $2a<|F_1F_2|$）的轨迹称为双曲线。

定义2：在平面直角坐标系中，二元二次方程 $F（x，y）=ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0$满足以下条件时，其图像为双曲线。
$Δ=b^2-4ac>0。$

结论1：已知 $F_1,F_2$是双曲线的左右焦点，P为双曲线上面一点，那么三角形 $PF_1F_2$的内切圆与x轴切于(±a，0)。

结论2：双曲线上任意一点的切线与两条渐近线围成的三角形面积为ab。相似的结论也可以推广到对勾函数。

下面的结论可以结合椭圆对应结论记忆。

结论3：(中点弦)AB是双曲线的一条弦。设M为AB中点，O为坐标原点。若斜率AB和斜率OM均存在，设AB斜率为 $k_{AB}$，OM斜率为 $k_{OM}$。那么有结论：
$k_{AB}k_{OM}=\frac{b^2}{a^2}$

结论4：设P为双曲线内一点，那么被点P平分的弦的方程为
$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=\frac{x_0^2}{a^2}-\frac{y_0^2}{b^2}$

结论5：设P为双曲线内一点，那么过P的弦的中点的轨迹为：
$\frac{xx_0}{a^2}-\frac{yy_0}{b^2}=\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$

区别结论4和结论5可以根据解析式的x,y的次数。

结论6：（配极原理）准线上的点对应的切点弦过准线对应的焦点。

结论7：设P，Q为双曲线上两个动点，O为坐标原点。若OP垂直OQ，那么有结论： $\frac{1}{|OP|^2}+\frac{1}{|OQ|^2}=\frac{1}{a^2}-\frac{1}{b^2}$
与椭圆相同的，这个结论可以衍生出许多经典的最值问题。

结论8:设 $P(x_0,y_0)$为双曲线上的定点，O为坐标原点。那么过P的两条直线分别与双曲线交于另外两点A，B。设这两条直线斜率分别为 $k_1,k_2$，AB斜率为 $k_{AB}$，OP斜率为 $k_{OP}$，那么有结论：
$若k_1+k_2=0，则k_{OP}k_{AB}=-\frac{b^2}{a^2}$
$若k_1k_2=-1，则AB过定点(\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}x_0，-\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2}y_0)$

结论9：（光学性质）从焦点出发的光线的反射光线的反向延长线经过另一个焦点。即两条直线交于双曲线上一点，且两条直线与该点切线所成角相同，若一条直线经过焦点，则另一条直线也经过焦点。

6.抛物线(F: $y^2=2px(p>0)$)

定义：抛物线是平面内到一定点和到一条不过此点的定直线的距离相等的点的轨迹。

结论1：已知AB为抛物线的一条弦，过定点(a，0)。设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2)$，那么有结论：
$x_1x_2=a^2,y_1y_2=-2pa$

结论2：已知AB为抛物线的一条弦，过焦点F。那么有结论：
$\frac{1}{|AF|}+\frac{1}{|BF|}=\frac{2}{p}$
这样的结论依然可以衍生出许多焦点弦相关的最值问题。

结论3：设O为坐标原点，若弦AB满足 $\angle AOB=\frac \pi 2$，那么AB过定点 $(2p,0)$。逆结论也成立。

结论4：设AB为过焦点F的弦，则以AB为直径的圆与准线相切。以AF或BF为直径的圆与y轴相切。

结论5：设PQ为一条弦，M $(x_0,y_0)$为PQ中点。设PQ斜率为 $k_{PQ}$，那么有结论： $k_{PQ}=\frac{p}{y_0}$

结论6：设AB为过焦点的一条弦， $\alpha$是弦的倾斜角。那么有结论： $|AB|=\frac{2p}{\sin^2\alpha}$

结论7：设AB为过焦点的一条弦，A‘和B’是A和B在准线上的垂线垂足。那么AOB‘三点共线，A’OB三点共线。

结论7：设AB为过焦点F的一条弦，C’是AB中点C在准线上的垂线垂足，A‘和B’是A和B在准线上的垂线垂足。那么有结论C’F垂直AB，BC‘垂直平分B’F，AC‘垂直平分A’F。

结论8：（光学性质）从焦点出发的光线经过反射会与抛物线对称轴平行。即两直线交于抛物线上一点，且与该点切线所成角相等，若一条直线过焦点，那么另一条直线将会平行于抛物线对称轴。其实可以类比椭圆，只不过另一个焦点在无穷远的地方，所以直线平行对称轴。

结论9：（配极原理）准线上的点对应的切点弦过焦点。

结论10：设P为抛物线准线上一点，那么作过P的抛物线的两条切线分别切于A，B。A‘，B’为A和B在准线上的垂线的垂足。由结论9可知AB过焦点F，有结论：

• PF垂直AB
• PA垂直PB
• （射影定理） $|FA||FB|=|PF|^2$
• PA平分 $\angle BAA'$
• PB平分 $\angle ABB'$

PS：由于博主菜到不会latex大括号，所以参数方程咕咕咕。简单说一下，一般椭圆的参数方程可以大幅简化运算，结合辅助角公式可以解决很多最值问题。

结束语：由于没有太多时间，所以粗略总结如上。如果有一些遗漏的常用性质，欢迎补充。如果发现哪里存在笔误，或者对哪条性质有所质疑，欢迎讨论指正。