这篇我们试着通过一般式来逆推回标准式。考虑到上篇估计让大家看晕。那本篇的前面我们先做个简单的事情，让xy项等于0，看看如何反推。
去掉xy项了，那我们只需要想办法去掉一次项。然后就跟标准方程没啥两样了。
在初中学习一元二次方程的时候，我们知道没一次项的方程可以直接开平方求得它的解，而包含一次项的，则可以用配方法把一次项融入到一个完全平方式中然后开方。此处我们也用类似的方法。
以x为例，有
这个1/4D^2是配方法的套路，二次项化为1之后，常数项配上一次项系数一半的平方即可。从完全平方公式可以看出这个关系来。
这个足够基础了吧？虽然我知道有的童鞋都还给老师了~~
接下来我们对上式配一下方。
这样的话一次项就等于没掉了，因为我们可以通过换元让X=x+1/2D，Y=y+1/2E，得到
这个换元只是平移变换，并不会影响曲线的形状，因此看关于新变量X，Y的方程即可判断一般式方程是啥样的。
很明显的一点，x^2和y^2项的系数并未受到一次项系数的影响，因此不包含xy项的时候，我们直接考察原方程的A和C即可。
圆的标准方程为
所以当A和C都等于1的时候，一般式方程就是圆，当然了，A=C并且不等于0也是圆，因为只要方程两端同时除以A或C即可变成如上形式。
当然了，常数项也是要看的，r^2一定要大于0，即常数部分
不过学过极限的朋友也可以说半径等于0是圆的半径无限缩小的结果，学过复数的朋友还可以认为半径小于0是半径继续收缩，往三维空间进发的结果。所以后面我不打算在诸如半径大于0这样的细节上做太多的强调，而是把目光集中在系数跟形状关系的判断上。
然后椭圆和双曲线方程中，x^2和y^2的系数都不相等，不过它们有个明显的区分
椭圆标准方程
中，x^2和y^2系数都大于0，而双曲线
的两个项为一正一负。
两个都为负数可能吗？不会，因为它们的和要等于1，如果都取负数
那x和y不管取什么数字，左边都小于等于0，没有任何点能成为曲线的一部分。不过按前面蓝色高亮部分的约定，我会对方程两边都乘以-1，然后也认为它算是椭圆的一种。
因此，A不等于C的时候，AC同号为椭圆，异号则为双曲线。
而抛物线的标准方程为
它们的特点是x^2和y^2缺失了其中一项。也就是说，当A和C有且只有其中一项为0的时候，方程就是抛物线。
当然了，这也有特殊情况，比如
y的一次项都缺失了的话，那方程就可以化作x=2或x=-2，它表示两条平行于y轴的直线，站在极限的角度上理解，它也是抛物线在y的一次项系数绝对值无限变小的结果（后面总结的时候发个图）。
如果A和C都为0，那二次项就全没了，就成了直线方程。
现在我们就来总结一下。
缺失xy项的二元二次方程
所表示的曲线仅和x^2和y^2的系数A和C有关（忽略半径等于0一类的“极限”情况），并且有：
A=C≠0时，方程为圆。
A≠C且A，C同号时，方程为椭圆。
A≠C且A，C异号时，方程为双曲线。
A≠C且A，C其中一项为0时，方程为抛物线。
A=C=0时，方程为直线。
这地方虽然说得啰嗦，但是内容还是比较简单的，对吧。就当作是为上篇缓冲一下。
现在重头戏来了，xy项若不为0，那么我们要怎么办呢？从上篇我们知道，xy可以由标准方程经过旋转后产生，那就是说，我们通过逆变换给转回去，那是有希望消灭掉xy项的，但不确定都能消掉，因为我们用待定系数法得到的方程组，其方程数量大于未知数的个数。
但无论如何，我们都试着做这个操作吧。
从标准方程转到一般方程，用的是旋转矩阵的逆矩阵，转回去，自然就是旋转矩阵的逆矩阵的逆矩阵，也就是旋转矩阵本身啦。从功能上说，把-θ改成θ即可。
我们把旋转变换代入到包含xy项的一般式中。
旋转变换为
现在我们就代入下吧，很蛋疼的，请做好心理准备！
不难看出，旋转后，一次项并未产生跟xy系数有关的变化，加上一次项在缺失xy的时候只影响位置和半径等参数的大小，不影响曲线类型，所以我在草稿纸上演算的时候会直接把一次项忽略掉。
继续展开，我们得到
很蛋疼吧，都要分行了，哈哈。不过我们现在关注的仅仅是消灭xy项，所以我们把xy项的系数提取出来，得到：
这是xy项的系数，我们要消灭掉就是要让它等于0，此处我们关心的是旋转多少度可以灭掉，因此只有θ是未知数。
三角函数有个特点，可以通过2倍角，3倍角等技巧进行降次。上式的cosθsinθ为正弦二倍角的组成部分，而(cosθ)^2-(sinθ)^2则为余弦的二倍角，于是可以这样化简：
这是一个形如asinθ+bcosθ的式子，可以运用两角和三角函数的逆变换套路进行合并。
其中新产生的字母φ不是一个变量，它是一个角度值常量，满足以下关系：
可见φ值完全可以用反三角函数表示，只不过这样太蛋疼，反倒不便于后续的讨论。
我们把这个公式代入到前面整理好的xy项系数中
其中
要让这个式子等于0，可以让C-A和B都等于0，但B=0意味着方程本身就没xy项，已经不在当前的讨论范围内，所以只能是让三角函数的部分等于0了。
要三角函数部分等于0，可以让2θ+φ=0，即θ=-φ/2
然后我们试着用ABC来建立跟-φ/2的关系。
这里要用的是三角函数的半角公式。
去掉平方的话，开方结果要根据角度的位置取不同的符号。但是这里我们不管，因为θ跟ABC已经建立了间接的关系，可能在处理的时候无需求得实际的φ值。
出来混迟早都是要还的，刚才我们懒得整理x^2和y^2的系数，但现在我们要整理了，并且得把其中的θ消掉。消掉的方法基于刚才用xy项系数等于0建立出来的等式关系，虽然不是很明朗，但估计够用了。
我们把刚才的式子搬回来。
整理可得，x^2的系数等于
因为θ=-φ/2，而这里的三角函数都是两次，所以我们用二倍角和半角公式降一下次，φ就不用再除以2了，而次数也降到了一次，可谓一举两得。
类似地，y^2的系数等于
形式上很像，然后由于现在xy项已经是0了，所以可以用回上一篇的定律来判断曲线的类型。要考察的是
这两条式子的值。
首先，我们不用考虑相等的情况，因为有xy项的一定不是圆。
然后就是符号一致的时候，方程为椭圆，可以分别让它们都大于0和都小于0建立两个方程组，或者让它们的乘积或者商大于0。
我们用后者的方法，因为相乘可以用平方差公式去掉根号。
！！！！！式子最终被化简的那一刻，我震惊了，经过一系列蛋疼的变换生成的两个如此复杂的系数，相乘结果竟然正是这个家喻户晓的一元二次方程根的判别式delta！不得不惊叹数学的美妙啊！原来各种复杂现象背后蕴含的，恰好就是大家最熟悉的东西。怪不得我国伟大的数学家范盛金（我知道有人鄙视他）也沉迷于一元三次方程求根公式的简化工作中不可自拔了，因为他也跟我一样（范盛金看到是不是要呸呸呸了），在三次方程求解过程中找到了B^2-4AC这样的一个完美的判别式。
言归正传，这个结果是一般方程旋转到消掉xy项后，x^2系数和y^2系数相乘的结果。然后对于缺xy项的方程来说，本文前面已给出了判定的方法。我们补上两系数的乘积结果。
A=C≠0时，AC>0，方程为圆。
A≠C且A，C同号时，AC>0，方程为椭圆。
A≠C且A，C异号时，AC<0，方程为双曲线。
A≠C且A，C其中一项为0时，AC=0，方程为抛物线。
A=C=0时，AC=0，方程为直线。
而旋转后的方程，AC要替换为-1/4*(B^2-4AC)，然后把-1/4这个系数去掉，不等号方向改变下。接下来，我们用大家熟悉的符号Δ表示B^2-4AC，对应上面的5种情况，有如下结论：
Δ<0时，方程为圆
Δ<0时，方程为椭圆
Δ>0时，方程为双曲线
Δ=0时，方程为抛物线
Δ=0时，方程为直线
似乎出现了重叠，合并一下就是
Δ<0时，方程为圆或椭圆
Δ>0时，方程为双曲线
Δ=0时，方程为抛物线或直线
发现似乎判断尚未完成，因为有的还有两种情况，无法区分，这里我稍稍解释下。
1 圆可以理解为长短轴相等的椭圆，真要区分的话，看A和C是否相等并且B=0，满足条件则为圆，否则为椭圆。
2 双曲线其实也有特殊情况，比如x^2-y^2=0，可以对其进行因式分解，得到(x+y)(x-y)=0，所以它是两条直线，不过也可以看作是双曲线x^2-y^2=a在a趋向于0的结果（晚点看能不能上个图演示下），类似的还有x^2-3xy+2y^2=0，x^2-5xy-6y^2=0，等等。
3 直线的情况，二次项全部为0，按理说已经不归属于二元二次方程的范畴了。不过二次项不全为0也可能是直线，如前面提到的y^2-4=0，它的图像由两条平行的直线组成，但跟双曲线一样，可以理解成抛物线y^2-2px-4=0在p趋向于0的结果（有心情的时候把图补上）。
如果事先约定了一些规则，比如二次项系数不全为0，圆也归到椭圆的范畴的话，那么这个判定规则就更加简洁清晰了。
由于二元二次方程的xy项一定可以通过旋转消灭掉，所以最后给出总的结论是：
二元二次方程的一般式
一定表示圆锥曲线（特殊情况用极限来理解）。至于是哪一种曲线，可以通过判断式Δ=B^2-4AC进行判断：
Δ<0时，方程为椭圆（包括正圆）
Δ>0时，方程为双曲线
Δ=0时，方程为抛物线
现在，我们对二元二次方程的图像已经了如指掌了。比如连载十五中提到的二元二次方程
它的Δ=(-5)^2-4*2*3=1>0，因此它是一条双曲线。
在求解方程的时候，我们也可以通过诸如旋转等的变形对消元过程进行简化，让编程求解更为容易！
不过下一篇我不会马上给大家讲解方程求解。在计算机中，大家绘图经常用到的曲线往往不是椭圆，抛物线这些，而是一种有美学特征的贝塞尔曲线。所以我打算再跟大家研究下贝塞尔曲线。
有人说，二次贝塞尔曲线就是抛物线，不过当年我是坚决否定这一说法，因为虽然抛物线和二次贝塞尔曲线形式上都是y=ax^2+bx+c，但这一表达式在抛物线中是自变量和因变量的关系，而在二次贝塞尔曲线中则是变量和参数的关系。然而现在我们学习了矩阵，那有没有可能通过旋转等的矩阵变换，把二次贝塞尔曲线转换为抛物线呢？下一篇我们一起探讨这个问题，敬请期待！