本篇的标题跟上一篇很像。没错，这就是接上一篇的，而且会在上篇基础上继续深入。
上篇我们走了“大胆假设，小心求证”的路线，通过表面现象猜测xy=1的焦点，并且代入到双曲线的性质公式中进行证明。发现包含xy项的曲线也有可能是圆锥曲线的变体。
然而我们并没有用诸如旋转等变换方式来实现从x^2-y^2=1到xy=1的演变。
8个月前的连载二，我给出了方程在y方向拉伸到原来两倍的方法：先建立新变量Y，然后让Y=2y，接着算出y=Y/2，即可代入到缩放前的方程中，从而得到包含新变量Y的方程了。
通过观察我们知道，x^2-y^2=1可以通过正向旋转45度得到xy=1（忽略缩放部分）。跟缩放不同，旋转会同时更改x和y，因此，除了Y，我们还要建立新变量X。
然后我们从8个月前连载五中把旋转公式搬过来：
X=x*cosθ-y*sinθ，Y=x*sinθ+y*cosθ
然后我们把x，y跟X，Y之间的关系求出来代入即可。
怎么又要解二元一次方程了？emmm，现在我们当然首选逆矩阵了。
逆矩阵形式上过于抽象，在文章里我们不妨就站在业务角度上来分析。从（x，y）到（X，Y）变换是正向旋转θ度，所以从功能上看就可以得知从（X，Y）到（x，y）是负向旋转θ度，即
x=X*cos(-θ)-Y*sin(-θ)，y=X*sinθ+Y*cosθ
然后我们试试让θ=45度，并且代入到x^2-y^2=1中，看是否能化成XY=1这种形式的双曲线。
为便于大家观看，我先把几条关系式用MathType写出来并放到一起。
然后前两条式子分别代入到最后一条式子的x和y中，得到：
果然成功化出来了，跟XY=1相比只是差了个系数，再加个缩放就完事（让X'=X/2或者让Y'=Y/2都可以）。
至此我们得到了一个结论，双曲线标准方程旋转后可以产生xy项，那么，是不是包含xy项的都是双曲线呢？我们试试其它的圆锥曲线。
为了让变换公式在博客上看起来不太复杂，我把中心点都放在坐标原点上。不在原点的情况有兴趣的朋友可自行演算。
圆心在原点上的圆的方程为
我们也用上面的公式代入
得到
旋转前后没有发生任何变化。对于圆来说，45度换成别的任意角度都会得到一样的结果（大家可自行代入看看），这跟我们平时生活观察到的现象不谋而合，轮子，圆盘绕中轴旋转，圆的外轮廓都不会有丝毫的变动。
因此圆的旋转不会产生xy项，怎么旋转都不会让圆发生倾斜，哪怕中心点不在坐标原点上。
接着我们看椭圆。
代入旋转变换，得
产生了XY项，当且仅当a^2=b^2时xy项系数为0，而这个时候的曲线正好是圆。（注意原始方程中x^2和y^2的系数是1/a^2和1/b^2，所以哪怕a=-b，曲线也还是圆）。
然后我们再来看看抛物线。
也产生了xy项，并且在旋转45度的情况下，xy项始终不等于0。
四种曲线都旋转过了，现在我们来总结下，发现除了圆以外，其它圆锥曲线在旋转后都能产生xy项，因此，包含xy项的二元二次方程有可能是椭圆，双曲线，抛物线的其中一种，但不确定是否还包含其它类型的曲线。
现在我们让它通用一点，把旋转角度全部改成任意角，但是我不贴出推导过程了，而是直接给出旋转后的方程，并且中心点不做偏移。然后我再给一个结论：中心点位置不会对旋转后的xy系数产生任何影响，证明从略，读者可自行推导。
首先是圆，旋转前后不发生变化，方程为
椭圆的则等于
哇，看着好蛋疼啊。虽然演算过程不困难也不复杂，但截图出来会吓跑人的。
双曲线的则等于
抛物线的则等于
四种圆锥曲线的方程都化成一般式了。那么反过来问，给你一条一般式
你能知道它是属于哪种圆锥曲线么？还是说不是圆锥曲线？
或者说，二元二次方程一般式
当6个系数满足什么条件的时候是圆，满足什么条件的时候又是椭圆，双曲线，抛物线呢？什么条件又可以让四种曲线都不是？
就目前的经验，我们只能得到一个结论：包含xy项的二元二次方程一定不是圆。但是要如何识别是其它3种的哪一种？
假设我觉得它是椭圆，那我们可以用待定系数法得到一个方程组（此处先忽略一次项的部分，因为上面给出的公式不带偏移）：
这是一个包含3个未知数，未知数最高次数为2，且包含三角函数的方程组，且不说这个求解有多困难，3个未知数4个方程（事实上是6个，只是一次项没放进去而已），有没有解都还不知道。无解那还得再试别的曲线，运气不好可能3种都试不出来。那用此法岂不是找死了么？
这堆蛋疼的变换功能上只不过是个旋转，每个变量之间都受到一定的约束，所以不排除其中有两道或以上的方程之间存在等价关系。本篇我们的推导过程是对不包含xy项的标准式进行旋转，然后展开为一般式。所以，这过程跟上面的问题截然相反，我们要知道一般式是由哪个标准式变换过来的话，就完全可以通过旋转一般式，消除xy项来跟标准式进行对应。
我感觉到自己越写越枯燥了，有睡意了没？理论的东西就是这样，以前找我出书的编辑很强调文字的生动形象，什么东西都应该拿故事或者生活中的例子来类比，加强趣味性和可读性。嗯没错，简单的小东西，做人的大道理很容易跟万事万物产生关联。但随着问题的逐步深入，细节的逐步展开，一切都将变得越来越抽象和细化，导致我们越来越难在生活中找到原型，或者说勉强找到了例子，但代入进去并不严谨，无法把本质问题给说清楚。
先不说枯燥不枯燥，文章已经写长了，那么从一般式逆推回标准式的事情就放到下一篇去，今天上班了，但是我上级因为堵在路上而还没赶回公司，所以我才能继续再写一篇，后面的能不能写的这么顺利我还真不确定。既然如此，那就顺其自然，一切随缘吧！下篇见~