直线和圆锥曲线的位置关系

前言

圆锥曲线一般指椭圆、双曲线、抛物线；但由于圆和椭圆有近亲关系，都是封闭曲线，且椭圆的两个焦点合二为一时，椭圆就变成了圆；双曲线和抛物线都是非封闭曲线，这两个和前两个的区别就挺大了。

基础知识

• 直线\(l\)和圆锥曲线\(C\)的位置关系

1、从几何角度看，直线\(l\)和圆锥曲线\(C\)的位置关系可以分为三类：①无公共点；②仅有一个公共点；③有两个相异的公共点；

2、从数的角度看，可以通过代入法用代数的方法求解判断。通常是将直线\(l\)的方程\(Ax+By+C=0(A^2+B^2\neq 0\)，或者说\(A\)，\(B\)不同时为\(0\))，代入圆锥曲线\(C\)的方程\(F(x，y)=0\)中，消去\(y\)(或者\(x\))得到一个关于变量\(x\)(或者变量\(y\))的一元方程(仿二次方程)，即由\(\left\{\begin{array}{l}{Ax+By+C=0}\\{F(x，y)=0}\end{array}\right.\)，消去\(y\)得到\(ax^2+bx+c=0\)；

（1）当\(a\neq 0\)时，设一元二次方程\(ax^2+bx+c=0\)的判别式为\(\Delta\)，则有

\(\Delta >0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相交于不同的两点；

\(\Delta =0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相切；

\(\Delta <0\) \(\Leftrightarrow\) 直线\(l\)与圆锥曲线\(C\)相离，无公共点；

（2）当\(a=0\)，\(b\neq 0\)时，即得到一个一次方程，则直线\(l\)与圆锥曲线相交，且只有一个交点；此时

若\(C\)为双曲线，则直线\(l\)与双曲线\(C\)的渐近线的位置关系是平行；

若\(C\)为抛物线，则直线\(l\)与抛物线\(C\)的对称轴的位置关系是平行或者重合；

典例剖析

例1 【教材改编】曲线\(x^2+\lambda y^2=1(\lambda\neq 0)\)恒过定点_________。\((\pm 1，0)\)

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法1：从数的角度，类比\(y=kx+1\)恒过定点\((0，1)\)的方法思路，令\(y=0\)，得到\(x^2=1\)，故上述曲线恒过定点\((\pm 1，0)\);