如果给你一个找规律的题目1,2,3,5,? 下一个是多少？
大家在读书时肯定遇到过这样找规律的题目，聪明的你肯定会知道下一个数字是8，为什么呢？这其实就是著名的斐波那契数列，下一个数字是前两个数字的和。
本质上LeetCode的第91号题目Decode Ways其实就是斐波那契数列数列的变型，这是个什么样的题目呢？
大写字母A-Z被映射到了以下数字：
'A' -> 1
'B' -> 2
...
'Z' -> 26
那么给定一个只包含数字的字符串，问这个数字字符串有多少种可能的解释。
比如给定“12”，那就有两种解释，可以解释为AB也就是(1, 2)，也可以解释为L，即（12）。
该怎么解决这个问题呢？
思考过程
给定一个字符串假设是“1226”，我们可以先从最简单的情况开始，从右边数第一个数字是6，那么对于数字6来说很简单，只有一种解释，那就是6，即：
我们用“数组下标 ：{编码数字}”的形式来表示以某一个位置为开始的字符串所有可能的编码形式。
接下来我们来到了右数第二个数字2，对于26来说有两种解释，一种就是26也就是Z；另一种是(2,6)也就是BF，因此：
这样我们来到了右数第三个数字，如果前两个我们可以很直观的“看出”答案的话，那么第三个数字所有可能的编码就不是那么直观了，显然我们需要某种策略，那么这个策略是什么呢？你能看出来吗？在往下读之前仔细想一想这个问题。
好啦，让我们来检查一下你想的是不是正确的(或者是不是已经困了)。
这里的策略就是要想知道第三个数字所有可能的编码形式我们必须借助前两个数字所有的编码形式，那这是什么意思呢？
对于右数第三个数字来说，我们可以将其解释为2，那么这时我们就必须依赖右数第二个数字形成的编码格式，从上图我们已经知道了该数字能形成的编码格式为{26},{2,6}，因此我们只需要将右数第三个与{26}，{2,6}合并就可以了，如图所示：
对于右数第三个数字来说除了可以解释为2，我们还可以解释为22，如果解释为22，那么我们就必须依赖于右数第一个数字锁形成的编码格式，也就是{6}，即：
也就是说对于右数第三个数字来说所有可能的解释是{2,2,6}、{2,26}、{22,6}，如图所示：
现在你该知道怎么分析了吧，接下来我们来到了右数第四个数字1，基于上述讨论自己推导一下已1为开头的数字有多少种可能的解释。
分析完毕后用下图来验证一下吧。
怎么样，分析的正确吗？
接下来让我们数一数每一个位置所有可能的解释个数：
- 右数第一个数字是1个
- 右数第二个数字是2个
- 右数第三个数字是3个
- 右数第四个数字是5个
这就是我们在本文开头提到的那个数列，也就是著名的斐波那契数列，现在你应该明白了吧。
公式提炼
为什么该问题会形成斐波那契数列数列呢？
注意，接下来是重点。
我们记以右数第i个数字为开头的字符串所能形成的编码种类个数为F(i)，那么如果我们单独将第i个数字单独解释，那么能形成的编码种类个数就取决于F(i-1)。
而如果我们将第i和和第i-1这两个数字单独解释，那么能形成的编码种类个数就取决于F(i-2)，当然，这里有个前提，那就是第i和和第i-1这两个数字形成的整数必须在10~26之间，这样我们才能将其解释称为一个大写字母，否则F(i)的值就只取决于F(i-1)，即：
F(i) = F(i-1) + F(i-2) if 10 <= substr(i,i+1) <= 26
F(i) = F(i-1) else
现在你该知道了吧，原来这里确实存在一个稍微有点变型的斐波那契数列。
有了这些分析，还怕写不出代码吗？
代码实现
以下仅仅将上述公式翻译成代码。
int numDecodings(string s) {
int len = s.length();
if (len == 0||s=="0")
return 0;
vector<int>F(len+1, 1);
for (int i = len - 1; i >= 0; i--){
if (s[i] == '0' )
F[i] = 0;
else if (i == len - 1)
F[i] = 1;
else if (atoi(s.substr(i, 2).c_str()) <= 26)
F[i] = F[i + 1] + F[i + 2];
else
F[i] = F[i + 1];
}
return F[0];
}
总结
有时你会发现算法其实还是挺有趣的(前提是你能想出解决方法:) )，在这个题目中经过我们的分析后发现，这其实就是初中学过的斐波那契数列而已。可能我们一下不能想到其本质，但是我们从最简单的情况下开始着手分析并找出规律，最后通过规律提炼出公式才发现这其实是斐波那契数列的变型，用代码实现一个斐波那契数列是非常简单的，真正的价值在于这背后的分析过程，希望对你能有所启发。
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