0-1背包问题-----目标和

给定一个非负整数数组，a1, a2, …, an, 和一个目标数，S。现在你有两个符号 + 和 -。对于数组中的任意一个整数，你都可以从 + 或 -中选择一个符号添加在前面。

返回可以使最终数组和为目标数 S 的所有添加符号的方法数。

示例 1:

输入: nums: [1, 1, 1, 1, 1], S: 3
输出: 5
解释: 

-1+1+1+1+1 = 3
+1-1+1+1+1 = 3
+1+1-1+1+1 = 3
+1+1+1-1+1 = 3
+1+1+1+1-1 = 3

方法一：
采用递归的思想。
class Solution {
    
    int count = 0;
    
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int S) {
        int sum = 0;
        calculate(nums, S, 0, sum);
        return count;
    }
    
    public void calculate(int[] nums, int S, int i, int sum) {
        if (i == nums.length) {
            if (sum == S) {
                count++;
            } else {
                return;
            }
        } else {
            calculate(nums, S, i + 1, sum + nums[i]);
            calculate(nums, S, i + 1, sum - nums[i]);
        }
    }
}

方法二：
该问题可以转换为 Subset Sum 问题，从而使用 0-1 背包的方法来求解。
可以将这组数看成两部分，P 和 N，其中 P 使用正号，N 使用负号，有以下推导：

                  sum(P) - sum(N) = target
sum(P) + sum(N) + sum(P) - sum(N) = target + sum(P) + sum(N)
                       2 * sum(P) = target + sum(nums)

class Solution {
    public int findTargetSumWays(int[] nums, int S) {
        int size = nums.length;
        int sum = calculateSum(nums);
        if (S > sum || ((S + sum) & 1) == 1) {
            return 0;
        }
        int target = (S + sum) >> 1;
        int[] dp = new int[target + 1];
        dp[0] = 1;
        for (int i = 0; i < size; i++) {
            for (int j = target; j >= nums[i]; j--) {
                dp[j] = dp[j] + dp[j - nums[i]];
            }
        }
        return dp[target];
    }
    
    public int calculateSum(int[] nums) {
        int sum = 0;
        for (int n : nums) {
            sum += n;
        }
        return sum;
    }
}