递归、回溯-0-1背包问题

0-1背包问题是子集选取问题。一般情况下，0-1背包问题是NP难的，0-1背包问题的解空间可用子集树表示。解0-1背包问题的回溯法与解装载问题的回溯法十分相似。

在搜索解空间树时，只要其左儿子结点是一个可行结点，搜索就进入其左子树。当右子树有可能包含最优解时才进入右子树搜索，否则将右子树剪去。设r是当前剩余物品价值总和：cp是当前价值；bestp是当前最优价值。当cp+r<=bestp时，可剪去右子树。计算中解的上界的更好方法是剩余物品依其单位重量价值排序，然后依次装入物品，直到装不下时，再装入该物品的一部分而装满背包。由此得到的价值是右子树解的上界。

例如，对于0-1背包问题的一个实例，n=4，c=7，p=[9,10,7,4]，w=[3,5,2,1].这个物品的单位重量价值分别为[3,2,3,5,4],以物品单位重量价值的递减序装入物品，先装入物品4，然后装入物品3和1,。装入这3个物品后，剩余的背包容量为1，只能装入0.2的物品2.由此得到一个解为x = [1,0.2,1,1]，其相应的价值为22.尽管这不是一个可行解，但可以证明其价值是最优解的上界。因此，对于这个实例，最优值不超过22。

输入：物品的数目n，背包的容量c。各个物品的重量wi，各个物品的价值vi。

输出：装入背包的最大价值。

运行结果：

为了便于计算上界，可先将物品依其单位重量价值从大到小排序，此后只要按顺序考察各物品即可。在实现时，由Bound计算当前结点处的上界。类Knap的数据成员记录解空间树中的结点信息，以减少参数传递及递归调用所需的栈空间。在解空间树的当前扩展结点处。仅当要进入右子树时才计算上界Bound，以判断是否可将右子树剪去。进入左子树时不需计算上界，因为其上界与其父结点的上界相同。

template <class Typew, class Typep>
class Knap
{
    template <class Tw, class Tp>
    friend Tp Knapsack(Tw *, Tp *, Tw, int);
private:
    Typep Bound(int i);
    void BackTrace(int i);
    int n;                                  //装包物品重量
    Typew c,                                //背包容量
          *w,                               //物品重量数组
          cw;                               //当前重量，从根到当前结点所形成的部分解的装包物品重量
    Typep cp,                               //当前价值，从根到当前结点所形成的部分解的装包物品价值
          *p,                               //物品价值数组
          bestp;                            //当前最优价值，已搜索过得部分解空间树的最优装包价值
};
//计算以当前结点为根的子树的价值上界
//计算上界的方法是将剩余物品依其单位重量价值排序，然后依次装入物品，直至装不下时，再装入该物品的一部分而装满背包。
template <class Typew, class Typep>
Typep Knap<Typew, Typep>::Bound(int i)
{
    Typew cleft;                            //剩余容量
    Typep b;

    cleft = c - cw;
    b = cp;

    while(i <= n && w[i] <= cleft)          //以物品单位重量价值递减序装入物品
    {
        b += p[i];
        cleft -= w[i];
        i++;
    }
    if(i <= n)                              //装满背包，剩余的容量不足一个，装一部分
        b += p[i]*cleft / w[i];

    return b;
}
//对解空间树回溯搜索，求得最大装包价值
template <class Typew, class Typep>
void Knap<Typew, Typep>::BackTrace(int i)
{
    if(i > n)                               //到达叶节点
    {
        bestp = cp;
        return;
    }

    if(cw + w[i] <= c)                      //满足约束函数，进入左子树
    {
        cw += w[i];
        cp += p[i];
        BackTrace(i+1);
        cw -= w[i];                         //回溯还原
        cp -= p[i];
    }
    if(Bound(i+1) > bestp)                  //满足限界函数，进入右子树
        BackTrace(i+1);
}

//物品
class Object
{
    template <class Tw, class Tp>
    friend Tp Knapsack(Tw *, Tp *, Tw, int);
public:
    bool operator < (const Object &a) const
    {
        return d > a.d;
    }
private:
    int ID;                                     //物品标号
    float d;                                    //单位重量价值
};

template <class Typew, class Typep>
Typep Knapsack(Typew *w, Typep *p, Typew c, int n)
{
    Typew W;
    Typep P;
    Object *Q;
    int i;
    //初始化
    W = 0;
    P = 0;
    Q = new Object[n];
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        Q[i-1].ID = i;
        Q[i-1].d = 1.0*p[i] / w[i];
        W += w[i];
        P += p[i];
    }
    if(W <= c)                      //能够装入所有物品
        return P;
    sort(Q, Q+n);                   //将n个物品依单位重量价值排序

    Knap<Typew, Typep> K;

    K.c = c;
    K.n = n;
    K.bestp = 0;
    K.cw = 0;
    K.cp = 0;
    K.p = new Typep[n+1];
    K.w = new Typew[n+1];
    for(i = 1; i <= n; i++)
    {
        K.w[i] = w[Q[i-1].ID];
        K.p[i] = p[Q[i-1].ID];
    }
    K.BackTrace(1);
    delete []Q;
    delete []K.p;
    delete []K.w;

    return K.bestp;         //返回最大装包价值
}

2、算法效率

计算上界需要O(n)时间，在最坏情况下有 $O(2^{n})$ 个右儿子结点需要计算上界，故解0-1背包问题的回溯算法Backtrack所需的计算时间为 $O(n2^{n})$ .

递归、回溯-0-1背包问题

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