背包问题 0-1背包问题

0-1背包问题

有 N 件物品和一个容量是 V的背包。每件物品只能使用一次。第 i件物品的体积是 vi，价值是 wi。

求解将哪些物品装入背包，可使这些物品的总体积不超过背包容量，且总价值最大。输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数，N，V，用空格隔开，分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N行，每行两个整数 vi,wi，用空格隔开，分别表示第 i件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数，表示最大价值。
数据范围0<N,V≤1000, 0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例：

8

动态规划(背包问题)：

状态转移方程：
定义f[i][j]:前i个物品，背包容量j下的最优解

1）当前背包容量不够（j < w[i]），为前i-1个物品最优解：f[i][j] = f[i-1][j]
2）当前背包容量够，判断选与不选第i个物品
选：f[i][j] = f[i-1][j-w[i]] + v[i]
不选：f[i][j] = f[i-1][j]

代码：

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 10010;
int w[N], v[N], f[N][N];		//w重量，v价值，f[i][j]为j重量下前i个物品的最大价值

int main()
{
	//input
	int n, V;
	cin >> n >> V;

	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		cin >> w[i] >> v[i];
	}

	//process
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		for (int j = 1; j <= V; j++) {
			if (j < w[i]) {		//当前重量装不进，价值等于前i-1个物品
				f[i][j] = f[i - 1][j];
			}
			else {				//可以装下，则需进行判断是否加入
				f[i][j] = max(f[i - 1][j], f[i - 1][j - w[i]] + v[i]);
			}
		}
	}

	//output
	cout << f[n][V] << endl;

	return 0;
}