离散马尔科夫链的平稳分布的两种解法

假设离散马尔科夫链的转移矩阵为 $P$，平稳分布为 $\pi$，则平稳分布满足： $P\pi=\pi$

迭代法

求平稳分布的一种简单方法是迭代法，即随机初始化初始分布 $\pi_0$，利用上式不断迭代求解下一时刻的状态分布直到状态分布收敛，则求得平稳分布。

"""通过markov_marix迭代得到`平稳分布`. """
pi0 = zeros(num)
pi0[0] = 1
pi = list([pi0])
for i in range(200):
    print('epoch %02d' % (i+1), pi[-1])
    pi.append(markov_marix.dot(pi[-1]))
    if sum(abs(pi[-1]-pi[i])) <= 1e-7:
        print('break...', pi[-1])
        break
steady_vec = pi[-1]  # 平稳分布
print('平稳分布:', steady_vec)

特征分解法

另一种解法是利用特征分解，由于平稳分布满足 $P\pi=\pi$，与特征方程 $Ax=λx$联系可知平稳分布 $π$就是转移矩阵 $P$的特征值为1对应的特征向量（归一化），因此可以直接对转移矩阵进行特征分解来求平稳分布。

"""特征分解求平稳分布. """
values, vecs = eig(markov_marix,)
for i in range(len(values)):
    if abs(values[i]-1) <= 1e-9:
        print(values[i])
        print(vecs[:, i]/sum(vecs[:, i]))

模拟结果如下，两种方法求得平稳分布一致