离散马尔科夫状态转移矩阵的求法

泻药，根据已有数据得到统计上的转移矩阵常用的方法有两种
一下例子是信用风险管理的例子，但是统计手段是通用的：

Cohort approach：
对于特处在给定状态i下的观测目标”，在给定一个观测期里转移到状态j的“概率”（这个是我们观测的）为：
$\bar{p} _{i,j,t}=\frac{N_{i,j,t}}{N_{i,t}}$ （1）
其中N为观测的数量

那么对于所有观测目标而言，我们要对所有观测期内的转移概率进行加权
$\bar{p} _{ij}=\frac{\sum_{t=0}^{T}{N_{i,t}p _{ij,t}} }{\sum_{t=0}^{T}{N_{i,t}} }$ （2）

对所有状态组合i，j（假如转移的两个方向状态数对等，总共有n个，那么应该是n^2个状态组合，所以矩阵也是个方阵）

这个方法有个缺陷，依赖于观测时间段。如果不标准化观测期，观测时间段不一，得出的结论很可能有误差

Harzard rate approach：
这个方法叫“密度法”，核心思想是假设事件转移是个markov chain。我们只需求出一个”单位转移密度矩阵“就可以生成所有时间里的转移矩阵

比如状态i转移到状态j的密度可以表示为：
$\lambda_{ij} =\frac{N_{ij}}{\sum_{t=0, t_{n+1}-t_{n} =\Delta s}^{T}{N_{i}\Delta s }}$ （3）
我们以delta s 为时间间隔，记录0 到 T每一个时间段 $t_{n+1}-t_{n} =\Delta s$ 还是i状态的目标的数量。得到了一个不依赖于时间的“单位时间转移矩阵”
再另对角线上的元素为：
$\lambda_{ii}=-\sum_{i\ne j}^{}{\lambda_{ij}}$ （4）

当delta s非常小的时候，式（3）的分母可以近似为积分，在Markov chain中，转移矩阵的连乘形式也相应的近似成指数形式(泰勒展开）：
$\sum_{k=0}^{\infty }{\frac{\Lambda ^k T^k}{k!} }$ （5）

式（5）大概就是题主所说的“时间的函数”

离散马尔科夫状态转移矩阵的求法

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