马尔科夫预测

一、模型介绍

• 天气有以下几种状态：晴天、雨天、阴天
• 若已知天气当前处于某种状态，则天气未来的状态只与现在有关，与过去无关
• 注意，天气的状态是随机的，只能求明天处于某一种状态的概率
• 描述这种随机现象的模型，成为马尔科夫模型

二、从天气到马尔科夫链

• $离散时间$：昨天天气为初始时间$n=1$，今天$n=2$，明天$n=3$，…
• $状态空间$：天气处于晴天$j=1$，雨天$j=2$，阴天$n=3$
• $状态$：Xn=j表示第n天的天气为状态j，例如$X_4=3$，表示第四天天气为阴天
• $马尔科夫链$：设{ $X_n$，$n=1，2，\dots$}，是一个随机序列（即天气在第n天的状态是随机的）
• 假设已知天气第一天为晴天，第二天为雨天，第三天为阴天，……$Xn=2$
• 那么第$n+m$天的天气为晴天的概率是多少？
  $$P(X_{n+m}=1|X_n=2,...X_3=3,X_2=2,X_1=1)=P(X_{n+m}=1|X_n=2)$$
• 在条件概率表达式里，只有第n天的条件才是有用的！！！

三、适用题目

1、健康与疾病

• 人的健康状态随时间变化，变化又是随机的，
• 预测一个人下一年的健康状态，只需要看当前的状态
• 与优化模型相结合，例如保险公司追求收益最大化，需要预测投保人的健康状态

2、销售与储存

• 部分商品销量少，销售量随机，商家需要根据一周的销量决定是否进货

3、等级结构

• 预测下一年级别的变动，只与当前级别有关
• 若第$n$天天气处于状态$i$，则经过了$m$天后，天气处于状态$j$的概率满足：

• 则称{ $Xn$，$n=1，2，\dots$}为时齐的马尔科夫链

• 两种状态转换的概率，只与时间间隔有关，与更早的过去无关，也与起始时刻无关

• 是否满足时齐，由问题本身决定，一般带有周期性的问题才会满足时齐(如销售类问题，可以在论文的模型假设里写上“假设销售规律满足时齐性”)

• 当$m=1$时称$P_{ij}(1)$为一步转移概率，所有$P_{ij}(1)$所组成的矩阵成为马尔科夫链的一步转移矩阵

4、典型例题

四、马尔科夫预测与其他预测的区别

• 其他预测模型：计算的是数值，理论上有无数种可能
• 马尔科夫预测：计算的是概率，需要有限种已知的可能结果
• 例如根据城市近几年噪声值，预测下一年噪声值，则有无数种可能，不能使用马尔科夫预测
• 例如某商品销量有0-10工11种可能，则可以用马尔科夫预测下个月销量最有可能是几

五、SPSSAU例子

输入状态转移矩阵

可知，第五天为晴天的概率是0.3335