图的基本术语
图通常用一个二元组G=<V, E>表示，V表示顶点集，E表示边集。|V|表示顶点集中元素的个数，即顶点数，n个顶点的图称为n阶图。|E|表示边集中元素的个数，即边数。
注意：顶点集V和边集E均为有限集合，其中E可以为空集，V不可以为空集，但在运算中，可能产生V为空集。V为空集的图称为空图，记为φ。
1．无向图
若图G中每条边都是没有方向的，则称为无向图。每条边都是两个顶点组成的无序对，例如顶点v1和顶点v3之间的边，记为（v1, v3）或（v3, v1），
2．有向图
若图G中每条边都是有方向的，则称为有向图。有向边也称为弧，每条弧都是由两个顶点组成的有序对，例如从顶点v1到顶点v3的弧，记为<v1, v3>,v1称为弧尾，v3称为弧头
注意：尖括号<vi, vj>表示有序对，圆括号(vi, vj)表示无序对。
3．简单图
既不含平行边也不含环的图称为简单图，上图均为简单图。
在无向图中，若关联一对顶点的无向边多于一条，则称这些边为平行边，平行边的条数称为重数，如图（a）所示。在有向图中，若关联一对顶点的有向边多于一条，并且这些边的始点和终点相同（方向一致），则称这些边为平行边，如图（b）所示。自环是指一条边关联的两个顶点为同一个顶点，也就是说自己到自己有一条边，如图（c）所示。含有平行边的图称为多重图。平行边的条数称为重数。
4．完全图
在无向图中，若任意两个点都有一条边，则该图称为无向完全图。含有n个顶点的无向图，每个顶点到其他的n-1个顶点都有边，一共有n(n-1)/2条边。
在有向图中，若任意两个点都有两条方向相反的两条弧，则该图称为有向完全图。含有n个顶点的有向图，每个顶点发出n-1条边，并且进来n-1条边，一共有n(n-1)条边。
5．稀疏图和稠密图
有很少边或弧的图称为稀疏图，反之，则称为稠密图。这是一个非常模糊的概念，很难讲多少算稀疏，多少算稠密，一般来说，若图G满足|E|<|V|×log|V|，则称G为稀疏图。
6．网
在实际应用中，经常在边上标注如距离、时间、耗费等数值，该数值称为边的权值。带权的图称为网
7．邻接和关联
邻接是指顶点和顶点之间的关系，关联是指边和顶点之间的关系。有边/弧相连的两个顶点之间的关系，如无向边(vi, vj)，则称vi和vj互为邻接点；有向边<vi, vj>，则称vi邻接到vj, vj邻接于vi。若存在(vi,vj)或<vi,vj>，则称该边或弧关联于vi和vj。在图中，每条边关联（依附）两个顶点。
8．顶点的度
顶点的度是指与该顶点相关联的边的数目，记为TD(v)。
在计算度数之和时，每条边算了两次。如果在计算度数时，每算一度划一条线，则可以看出每条边被计算了两次。
在有向图中，顶点的度又分为入度和出度。顶点v的入度是以v为终点的有向边的条数，记作ID(v)，即进来的边数。顶点v的出度是以v为始点的有向边的条数，记作OD(v)，即发出的边数。顶点v的度等于其入度和出度之和，即
TD (v)=ID(v)+OD(v)
例如，在图7-12中，顶点v1的入度为1，出度为3，度为入度和出度之和4，所有顶点的入度之和为8，所有顶点的出度之和也为8，图中的边数也为8。所有顶点的入度之和=出度之和=边数。
9．路径、路径长度和距离
路径：接续的边的顶点构成的序列。
路径长度：路径上边或弧的数目。
距离：从顶点到另一顶点的最短路径长度。
例如，在图7-13中，
s、v1、v3、t是s到t的一条路径，路径长度为3;
s、v2、v4、v3、t也是s到t的一条路径，路径长度为4；
两个顶点之间的路径有可能有很多个，路径长度最短的为两个顶点的距离，如s到t的距离为3。
注意：在有向图中，路径必须沿着箭头的方向走，无向图只要有边就可以走。
10．回路（环）、简单路径和简单回路
回路（环）：第一个顶点和最后一个顶点相同的路径。在图7-13中，v2、v4、v3、v2是回路。
简单路径：除路径起点和终点可以相同外，其余顶点均不相同的路径。在图7-13中，s、v2、v4、v3、t是简单路径，而s、v2、v4、v3、v2、v1不是简单路径。
简单回路：除路径起点和终点相同外，其余顶点均不相同的路径。在图7-13中，v2、v4、v3、v2是简单回路。
11．子图与生成子图
子图：设有两个图G=(V, E)、G1=(V1, E1)，若V1⊆V, E1⊆ E，则称G1是G的子图。从图中选择若干个顶点、若干条边构成的图称为原图的子图。
生成子图：从图中选择所有顶点，若干条边构成的图称为原图的生成子图。如图7-14所示，（b）、（c）是（a）的子图，（b）是（a）的生成子图。“生成”两个字的含义就是包含所有顶点。
12．连通图和连通分量
连通图：在无向图中，如果顶点vi到vj有路径，则称vi和vj是连通的。如果图中任何两个顶点都是连通的，则称G为连通图。例如，图7-14（a）是连通图。
连通分量：无向图G的极大连通子图称为G的连通分量。极大连通子图意思是：该子图是G的连通子图，如果再加入一个顶点，该子图不连通。例如，图7-15中有3个连通分量，如图7-16所示。
13．强连通图和强连通分量
强连通图：在有向图中，如果图中任何两个顶点vi到vj有路径，且vj到vi也有路径，则称G为强连通图。
强连通分量：有向图G的极大强连通子图称为G的强连通分量。极大强连通子图意思是：该子图是G的强连通子图，如果再加入一个顶点，该子图不再是强连通的。如图7-17所示，（a）是强连通图，（b）不是强连通图，（c）是（b）的强连通分量。
14．树和有向树
从图论的角度来看，树是一个无环连通图。一个含n个顶点、m条边的图，只要满足下列5个条件之一就是一棵树：
- · G是连通图且m=n-1；
- · G是连通图且无环；
- · G是连通图，但删除任意一条边就不连通；
- · G是无环图，但添加任意一条边就会产生环；
- · G中任意一对顶点之间仅存在一条简单路径。
有向树：只有一个顶点入度为0，其余顶点入度均为1的有向图，如图7-18所示。
15．生成树和生成森林
极小连通子图：该子图是G的连通子图，在该子图中删除任何一条边，该子图不再连通。例如在图7-19中，（b）是（a）的极小连通子图，（c）不是（a）的极小连通子图。
生成树：包含无向图G所有顶点的极小连通子图。如图7-19（b）所示。因为生成树包含所有顶点，因此只有连通图才有生成树，而非连通图，每一个连通分量会有一棵生成树。
生成森林：对非连通图，由各个连通分量的生成树组成的集合。例如，图7-15中的3个连通分量，每个连通分量得到一棵生成树，称为生成森林，如图7-20所示。
图的存储结构
图的结构比较复杂，任何两个顶点之间都可能有关系。如果采用顺序存储，则需要使用二维数组表示元素之间的关系，即邻接矩阵（adjacency matrix），也可以使用边集数组，把每条边顺序存储起来。如果采用链式存储，则有邻接表、十字链表和邻接多重表等表示方法。其中，邻接矩阵和邻接表是最简单、最常用的存储方法。
邻接矩阵
邻接矩阵是表示顶点之间关系的矩阵。邻接矩阵存储方法，需要用一个一维数组存储图中顶点的信息，用一个二维数组存储图中顶点之间的邻接关系，存储顶点之间邻接关系的二维数组称为邻接矩阵。
（1）无向图的邻接矩阵
无向图邻接矩阵的特点如下。
- 1）无向图的邻接矩阵是对称矩阵，并且是唯一的。
- 2）第i行或第i列非零元素的个数正好是第i个顶点的度。
图7-23中的邻接矩阵，第3列非零元素个数为2，说明第3个顶点（c）的度为2。
（2）有向图的邻接矩阵
例如，图7-24所示的有向图，其顶点信息和邻接矩阵如图7-25所示。在图7-24中，a到b有边，a、b在一维数组中的存储位置分别为0、1，因此M[0][1]=1。有向图中是有向边，a到b有边，b到a不一定有边，因此有向图的邻接矩阵不一定是对称的。
有向图邻接矩阵的特点如下：
- 1）有向图的邻接矩阵不一定是对称的。
- 2）第i行非零元素的个数正好是第i个顶点的出度，第i列非零元素的个数正好是第i个顶点的入度
图7-25所示的邻接矩阵，第3行非零元素个数为2，第3列非零元素个数也为2，说明第3个顶点（c）的出度和入度均为2。
（3）网的邻接矩阵
邻接矩阵的数据结构定义
邻接矩阵的存储方法
算法步骤
1）输入顶点数和边数。
2）依次输入顶点信息，存储到顶点数组Vex[]中。
3）初始化邻接矩阵，如果是图，则初始化为0；如果是网，则初始化为∞。
4）依次输入每条边依附的两个顶点，如果是网，还需要输入该边的权值。
- · 如果是无向图，则输入两个顶点a、b，查询a、b在顶点数组Vex[]中的存储下标i、j，令Edge[i][j]=Edge[j][i]=1。
- · 如果是有向图，则输入两个顶点a、b，查询a、b在顶点数组Ve x[]中的存储下标i、j，令Edge[i][j]=1。
- · 如果是无向网，则输入两个顶点及权值a、b、w，查询a、b在顶点数组Vex[]中的存储下标i、j，令Edge[i][j]=Edge[j][i]=w。
- · 如果是有向网，则输入两个顶点及权值a、b、w，查询a、b在顶点数组Vex[]中的存储下标i、j，令Edge[i][j]=w。
算法图解
邻接表优缺点
优点：
缺点：
邻接表
邻接表（Adjacency List）是图的一种链式存储方法。邻接表包含两部分：顶点和邻接点。顶点包括顶点信息和指向第一个邻接点的指针。邻接点包括邻接点的存储下标和指向下一个邻接点的指针。顶点vi的所有邻接点构成一个单链表。
（1）无向图的邻接表
例如，一个无向图如图7-37所示，其邻接表如图7-38所示。
a的邻接点是b、d，其邻接点的存储下标为1、3，按照头插法（逆序）将其放入a后面的单链表中。
b的邻接点是a、c、d，其邻接点的存储下标为0、2、3，将其放入b后面的单链表中。
c的邻接点是b、d，其邻接点的存储下标为1、3，将其放入c后面的单链表中。
d的邻接点是a、b、c，其邻接点的存储下标为0、1、2，将其放入d后面的单链表中。
无向图邻接表的特点如下。
- 1）如果无向图有n个顶点、e条边，则顶点表有n个节点，邻接点表有2e个节点。
- 2）顶点的度为该顶点后面单链表中的节点数。
（2）有向图的邻接表（出边）
例如，一个有向图如图7-39所示，其邻接表如图7-40所示。
a的邻接点（只看出边，即出弧）是b、c、e，其邻接点的存储下标为1、2、4，按照头插法（逆序）将其放入a后面的单链表中。
b的邻接点是c，其邻接点的存储下标为2，将其放入b后面的单链表中。
c的邻接点是d、e，其邻接点的存储下标为3、4，按头插法将其放入c后面的单链表中。
d的邻接点是e，其邻接点的存储下标为4，将其放入d后面的单链表中。
e的没有邻接点，其后面单链表为空。
注意：有向图顶点的邻接点，只看该顶点的出边（出弧）。
有向图邻接表的特点如下
- 1）如果有向图有n个顶点、e条边，则顶点表有n个节点，邻接点表有e个节点。
- 2）顶点的出度为该顶点后面单链表中的节点数。
在有向图邻接表中，很容易找到顶点的出度，但是找到入度就很难了，需要遍历所有邻接点表中的节点，查找该顶点出现了多少次，入度就是多少。
如图7-41所示，顶点c的下标为2，邻接表中有两个为2的节点，因此c的入度为2；顶点e的下标为4，邻接表中有两个为3个为4的节点，因此e的入度为3。
（3）有向图的逆邻接表（入边）
有时为了方便得到顶点的入度，可以建立一个有向图的逆邻接表，图7-42的逆邻接表如图7-43所示。
a没有逆邻接点（只看入边，即入弧），其后面单链表为空。
b的逆邻接点是a，其存储下标为0，将其放入b后面的单链表中。
c的逆邻接点是a、b，其存储下标为0、1，按照头插法将其放入c后面的单链表中。
d的逆邻接点是c，其存储下标为2，将其放入d后面的单链表中。
e的逆邻接点是a、c、d，其存储下标为0、2、3，按照头插法（逆序）将其放入e后面的单链表中。
注意：有向图顶点的逆邻接点，只看该顶点的入边（入弧）。
有向图逆邻接表的特点如下
- 1）如果有向图有n个顶点、e条边，则顶点表有n个节点，邻接点表有e个节点。
- 2）顶点的入度为该顶点后面单链表中的节点数。
邻接表的数据结构定义
邻接表用到2个数据结构
- 1）顶点节点，包括顶点信息和指向第一个邻接点的指针，可用一维数组存储。
- 2）邻接点节点，包括邻接点的存储下标和指向下一个邻接点的指针。顶点vi的所有邻接点构成一个单链表。
邻接点节点包含邻接点下标和指向下一个邻接点的指针，如图7-44所示。如果是网的邻接点，还需要增加一个权值域w，如图7-45所示。
邻接表的优缺点
十字链表
十字链表（Orthogonal List）是有向图的另一种链式存储结构。它结合了邻接表和逆邻接表的特性，可以快速访问出弧和入弧，得到出度和入度。十字链表也包含两部分：顶点节点和弧节点。顶点节点包括顶点信息和两个指针（分别指向第一个入弧和第一个出弧），弧节点包括两个数据域（弧尾、弧头）和两个指针域（分别指向同弧头和同弧尾的弧）。
例如，一个有向图如图7-64所示，其邻接表如图7-65所示
a的出弧是ab、ac、ae，弧尾弧头对应的存储下标为01、02、04，逆序将出弧放入a后面的单链表中。
b的出弧是bc，弧尾弧头对应的存储下标为12，将出弧放入b后面的单链表中。
c的出弧是cd、ce，弧尾弧头对应的存储下标为23、24，逆序将出弧放入c后面的单链表中。
d的出弧是de，弧尾弧头对应的存储下标为34，将出弧放入d后面的单链表中。
e没有出弧，出弧域置空。
邻接多重表
邻接多重表（adjacency multilist）是无向图的另一种链式存储结构。邻接表的关注点是顶点，而邻接多重表的关注点是边，适合对边做访问标记、删除边等操作。邻接多重表类似十字链表，也包含两部分：顶点节点和边节点。顶点节点包括顶点信息和一个指针（指向第一个依附于该顶点的边），边节点包括两个数据域（顶点i、顶点j）和两个指针域（分别指向依附于i、j的下一条边）。如果需要标记是否被访问过，边节点还可以增加一个标志域。
