周期信号的傅里叶变换

为了在统一框架里分析周期信号与非周期信号，可以给周期信号也建立傅里叶变换。
有两种方法求周期信号的傅里叶变换：

1. 利用傅里叶级数进行构造
对于周期信号$x(t)$，其傅里叶级数展开式为：

$$x(t) = \sum_{k = -\infty}^{+\infty}a_ke^{jkw_0t}$$
系数 $a_k$表示为：

由于

说明周期性复指数信号的频谱是一个冲激，那么我们推广这个关系，可得：

表明：周期信号的傅里叶变换由一系列等间隔的冲激函数线性组合而成，每个冲激分别位于信号各次谐波的频率处，其强度是傅里叶级数系数的 $2\pi$倍。
2. 周期延拓
这种方法先将 $x(t)$在一个周期内截断，得信号 $x_T(t)$，求出 $x_T(t)$的傅里叶变换 $X_T(w)$，再对 $X_T(w)$周期延拓得 $X(w)$。
具体来说：
根据 $\delta$函数性质，有：
$$x(t) = x_T(t)*\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(t - kT)$$
设周期冲激串 $\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(t - kT)$的傅里叶变换为 $F(w)$，
由时域卷积定理：
$$X(w) = X_T(w)F(w)$$
又时域周期为T的周期冲激串的傅里叶变换在频域是一个周期为 $\frac{2\pi}{T}$的周期冲激串，即：
$$F(w) = \frac{2\pi}{T}\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(w - \frac{2\pi k}{T})$$
故可得：
$$X(w) = \frac{2\pi}{T}X_T(w)\sum_{k = -\infty}^{+\infty}\delta(w - \frac{2\pi k}{T})$$
也就是：
$$X(w) = w_0\sum_{k = -\infty}^{+\infty}X_T(kw_0)\delta(w - kw_0)$$
我们对比两种方法得到的结果，可知：
周期信号傅里叶级数的系数 $a_k = \frac{1}{T}X_T(kw_0)$