【信号与系统学习笔记】—— 连续时间非周期信号傅里叶变换的性质 【下篇】（时域卷积定理和频域卷积定理）

一、时域卷积定理

我们先给出定理：两个时域信号做卷积，就等价于它们的频谱做乘法。
即：若： $x(t)\space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(jω); \quad y(t)\space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space Y(jω)$；那么 $x(t)*y(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(jω)Y(jω)$

这给我们计算一个系统的输出带来了极大的便利。我们可以先求出输入信号的频谱和系统的频率响应，两者一乘，最后做一下傅里叶逆变换就可以得出系统的输出（时域上的）。

【Proof】：我们下面证明一下，直接从定义出发： $\begin{aligned} Y(jω) &= \int_{-∞}^{+∞}y(t)e^{-jωt}dt\\ &=\int_{-∞}^{+∞}[\int_{-∞}^{+∞}x(τ)h(t - τ)dτ]e^{-jωt}dt\\\\ \end{aligned}$
到这里，博主有话要说了：因为我们现在的被积函数是 $x(τ)$ 和 $h(t - τ)$ 都是和 $τ$ 有关的表达式，因此我们不能简单粗暴地把它们拆开，一个是 $t$ 的积分，另一个是 $τ$ 的积分。这样是错误的！！但是我们又注意到：只有 $h(t - τ)$ 是和 $t$ 有关的，那么我们确实可以先让 $h(t - τ)$ 对 $t$ 积分， $dτ$ 放在最后面去做。

$\begin{aligned} Y(jω) &=\int_{-∞}^{+∞}[\int_{-∞}^{+∞}x(τ)h(t - τ)dτ]e^{-jωt}dt\\ &=\int_{-∞}^{+∞}[x(τ)\int_{-∞}^{+∞}h(t - τ)e^{-jωt}dt]dτ \end{aligned}$
这里我们需要用到傅里叶变换的延时特性：若 $x(t)\space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(jω)$，那么 $x(t-t_0) \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space X(jω)e^{-jωt_0}$

换成数学表达式就是： $\int_{-∞}^{+∞}h(t - τ)e^{-jωt}dt = H(jω)e^{-jωτ}$
所以上式就变为： $\begin{aligned} Y(jω) &=\int_{-∞}^{+∞}[x(τ)\int_{-∞}^{+∞}h(t - τ)e^{-jωt}dt]dτ\\ &=\int_{-∞}^{+∞}x(τ)e^{-jωτ}H(jω)dτ\\ &=H(jω)\int_{-∞}^{+∞}x(τ)e^{-jωτ}dτ\\ &=H(jω)X(jω) \end{aligned}$

那么，问题来了：还记得我们在之前的 $Blog$ 里面说过的吗？任何一个系统都可以通过其单位冲激响应 $h(t)$ 来表征对吧，那么根据我们现在推导出的时域卷积定理： $Y(jω)=H(jω)X(jω)$，那么按理说任何一个系统应该也可以用它的频率响应 $H(jω)$ 来表征。但是，确实是这样吗？

我们知道， $H(jω)$ 是 $h(t)$ 的傅里叶变换，那么所以只有当 $h(t)$ 满足傅里叶变换的收敛条件其中之一： $\int_{-∞}^{+∞}|h(t)|^2dt < ∞\\ \space\\ \int_{-∞}^{+∞}|h(t)|dt < ∞$
那么，这个系统才会存在频率响应，也就是说，不是所有的系统都能够求出它的频率响应。那么也就不能说：任何系统都可以用它的频率响应 $H(jω)$ 来表征。但是在本文后面的部分将会给出 $h(t)$ 和 $H(jω)$（存在的情况）的计算方法。

二、频域卷积定理（时域相乘）

我们先给出定理：若 $x_1(t), x_2(t)$ 的傅里叶变换分别为： $X_1(jω), X_2(jω)$，那么有： $x_1(t)\sdot x_2(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space \frac{1}{2π} X_1(jω) * X_2(jω)$

2.1 应用：正弦幅度调制

我们知道如果要计算系统的输出，我们可以通过时域卷积的方法计算得到。那么，什么场合下我们会用到时域信号相乘呢？答案就是—— 正弦幅度调制（当然不仅仅是这种，未来的 $IQ$ 调制等等也都会用得上）

我们来看看正弦幅度调制的框图：

其中， $s(t)$ 是我们的时域信号， $p(t) = cos(ω_0t)$，那么得到的 $r(t)$ 就是 $s(t)\sdot p(t)$

下面，我们就从频域的角度去分析正弦幅度调制：
【1】第一步：计算 $p(t)$， $s(t)$ 的频谱。

对于 $cos(ω_0t)$ 的频谱我们应该是很熟悉了，即 $P(jω) = πδ(ω+ω_0) + πδ(ω-ω_0)$，如下图所示：

我们再假设信号 $s(t)$ 的频谱如下图所示：

根据： $x_1(t)\sdot x_2(t) \space \underleftrightarrow{\mathscr{F}} \space \frac{1}{2π} X_1(jω) * X_2(jω)$，我们可以知道两个信号相乘之后的频谱如下图所示：

这里我们得出了一个结论：信号 $s(t)$ 在时域上与 $cos(ω_0t)$ 相乘，相当于在频谱上把 $s(t)$ 的频谱一分为二之后，分别向左右各搬移 $ω_0$！ （频谱搬移）

好的，到这里，我们已经了解了正弦幅度调制的细节。可以既然有调制，那么在接收端就必然需要解调。我们如何把这个调制的信号解调出来呢？？

我们看到，最左边的箭头的输入，就是我们刚刚那个调制的信号，在解调端，我们需要再给这个信号乘以原载波 $cos(ω_0t)$ ，然后经过一个低通滤波器（通带增益为2），就可以换原原本的信号了！

我们也是从频谱的角度来直观地看一下这个过程：
下图是输入信号 $r(t)$ 的频谱：

下图是 $p(t)$ 的频谱， $r(t)$ 需要再和载波进行相乘：

那么，二者相乘得到信号的频谱就是：

此时注意：中间频谱的幅度是 $\frac{1}{2}$

那么，经过一个通带增益为2的低通滤波器，就可以恢复原信号的频谱了！（下图为该低通滤波器的频响）

三、计算系统冲激响应 h(t) 的方法

我们常常使用线性常系数微分方程来表征一个系统，如下：

这时，我们可以直接对方程两边做傅里叶变换，根据傅里叶变换的微分性可以得出： $\sum_{k=0}^{N}a_k(jω)^kY(jω) = \sum_{k=0}^Nb_k(jω)^kX(jω)$
同时，又根据： $X(jω)H(jω) = Y(jω)$，所以我们可以得到系统的频率响应为： $H(jω) = \frac{Y(jω)}{X(jω)} = \frac{\sum_{k=0}^Nb_k(jω)^k}{\sum_{k=0}^{N}a_k(jω)^k}$

【我们举一个例子来感受这种方法的简便性，同时也给大家介绍一种解题技法】：
求以下面这个微分方程表征的系统的 $h(t)$：

两边做傅里叶变换，得： $(jω)^2Y(jω) + 6(jω)Y(jω) + 8Y(jω) = (jω)X(jω) + 3X(jω)\\ ((jω)^2 + 6(jω) + 8)Y(jω) = ((jω) + 3)X(jω)$
因此，系统得频率响应可以表示为： $H(jω) = \frac{Y(jω)}{X(jω)} = \frac{(jω)+3}{(jω)^2 + 6(jω) + 8} = \frac{jω+3}{(jω+2)(jω+4)}$
我们乍一看这个表达式看不能立刻得出结论，还需要使用下面这个技巧来分解一下： $H(jω) = \frac{A_1}{jω+2} + \frac{A_2}{jω+4} = \frac{jω+3}{(jω+2)(jω+4)}$
下面就需要计算 $A_1, A_2$。下面是固定套路：

1. 要求 $A_1$，我们就对上面的等式两边同乘 $jω+2$，再令 $jω+2 = 0$，就可以把 $A_1$ 解出来。 $A_1 = \frac{1}{2}$
2. 要求 $A_2$ ，我们就对上面的等式两边同乘以 $jω+4$，再令 $jω+4 = 0$，就可以把 $A_2$解出来。 $A_2 = \frac{1}{2}$

即： $H(jω) = \frac{1}{2}\frac{1}{jω+2} + \frac{1}{2}\frac{1}{jω+4}$

还记得单边指数信号 $e^{-at}u(t)$ 的频谱嘛？—— $\frac{1}{a+jω}$
因此，我们看到这里： $\frac{1}{jω+2}$ 的原信号就是： $e^{-2t}u(t)$。所以 $h(t)$ 为： $h(t) = \frac{1}{2}e^{-2t}u(t) + \frac{1}{2}e^{-4t}u(t)$

3.1 频率响应 H(jω) 与系统结构的关系

【1】级联

还记得时域里面如果两个系统级联，那么它们的响应关系是： $h_1(t) * h_2(t)$
根据时域卷积定理，它们的频域关系就是： $H_1(jω)H_2(jω)$

【2】并联：并联里面时域和频域都一样，都是相加。

$H_1(jω) + H_2(jω)$