频率
想一个问题？声音信号是怎么描述的呢？
这是我们对音乐最普遍的理解，一个随着时间变化的震动。但我相信对于乐器小能手们来说，音乐更直观的理解是这样的：
是的，其实这一段写到这里已经可以结束了。上图是音乐在时域的样子，而下图则是音乐在频域的样子。所以频域这一概念对大家都从不陌生，只是从来没意识到而已。
当你在KTV唱歌的时候，什么时候高音，什么时候低音，高音多高，低音多低都是用频率来描述的，众所周知，频率是变化的快慢，频率越大，说明变化的越快，反之则变化的越慢。可是频率对于人来说到底是啥，人为什么能够发出声音？初中物理学过了——振动！！没错，人的声带振动快慢就是所说的频率，频率的但是都知道了，是赫兹Hz，说通俗点就是一秒钟振动多少次。它和周期互为倒数，周期是多长时间振动一次。两个变量描述的是同一件事。
回到音乐的例子，每个音符都对应一个频率，1(dou)、2(ruai)、3(mi)、4(fa)..每个都对应一个频率，相应的，每个频率都会对应一个音符。
傅里叶级数
还是以声音信号为例，根据高中数学和高中物理的知识，一个周期性变化的变量比如声音、简谐运动的位移可以描述为如下的形式：
y = Asin(wt+φ)+b= Asin(2πft+φ)+bw叫角频率，f叫频率，单位是Hz，sin里面的一大堆叫相位，也就是说如果知道了频率和相位，那么这个声音信号就可以确定下来了。
引用高等数学里面的知识：一个函数比较复杂，人们想用简单的函数来描述一个复杂的函数，怎么办呢？出现了泰勒级数和傅里叶级数，泰勒级数是用多项式函数来描述别的函数，只需要研究部多项式函数就行了。傅里叶级数是用三角函数来描述别的函数，而且这些三角函数都是最简单的三角函数，只需要研究三角函数就可以了。
傅里叶级数存在条件是狄利克雷条件，具体可以参考任何一本高数书，在此不讨论不能展开为傅里叶级数的信号。
也就是说，一个连续的信号可以进行傅里叶级数展开，举个例子：
第一幅图是一个郁闷的正弦波 cos（x）
第二幅图是 2 个卖萌的正弦波的叠加 cos(x)+a.cos(3x)
第三幅图是 4 个发春的正弦波的叠加
第四幅图是 10 个便秘的正弦波的叠加
随着正弦波数量逐渐的增长，他们最终会叠加成一个标准的矩形，大家从中体会到了什么道理？
随着叠加的递增，所有正弦波中上升的部分逐渐让原本缓慢增加的曲线不断变陡，而所有正弦波中下降的部分又抵消了上升到最高处时继续上升的部分使其变为水平线。一个矩形就这么叠加而成了。但是要多少个正弦波叠加起来才能形成一个标准 90 度角的矩形波呢？不幸的告诉大家，答案是无穷多个。
不仅仅是矩形，你能想到的任何波形都是可以如此方法用正弦波叠加起来的。这是没有接触过傅里叶分析的人在直觉上的第一个难点，但是一旦接受了这样的设定，游戏就开始有意思起来了。
还是上图的正弦波累加成矩形波，我们换一个角度来看看
在这几幅图中，最前面黑色的线就是所有正弦波叠加而成的总和，也就是越来越接近矩形波的那个图形。而后面依不同颜色排列而成的正弦波就是组合为矩形波的各个分量。这些正弦波按照频率从低到高从前向后排列开来，而每一个波的振幅都是不同的。一定有细心的读者发现了，每两个正弦波之间都还有一条直线，那并不是分割线，而是振幅为 0 的正弦波！也就是说，为了组成特殊的曲线，有些正弦波成分是不需要的。
这里，不同频率的正弦波我们成为频率分量。
随后，以频率为横坐标，以对应频率的频率分量的幅度作为纵坐标，画图，得到如下的结果：
这是什么奇怪的东西？
这就是矩形波在频域的样子，是不是完全认不出来了？教科书一般就给到这里然后留给了读者无穷的遐想，以及无穷的吐槽，其实教科书只要补一张图就足够了：频域图像，也就是俗称的频谱，就是——
上面的一大堆说的是频谱图中的幅度，现在要说相位。通过时域到频域的变换，我们得到了一个从侧面看的频谱，但是这个频谱并没有包含时域中全部的信息。因为频谱只代表每一个对应的正弦波的振幅是多少，而没有提到相位。基础的正弦波 A.sin(wt+θ)中，振幅，频率，相位缺一不可，不同相位决定了波的位置，所以对于频域分析，仅仅有频谱（振幅谱）是不够的，我们还需要一个相位谱。那么这个相位谱在哪呢？我们看下图，这次为了避免图片太混论，我们用 7 个波叠加的图。
鉴于正弦波是周期的，我们需要设定一个用来标记正弦波位置的东西。在图中就是那些小红点。小红点是距离频率轴最近的波峰，而这个波峰所处的位置离频率轴有多远呢？为了看的更清楚，我们将红色的点投影到下平面，投影点我们用粉色点来表示。当然，这些粉色的点只标注了波峰距离频率轴的距离，并不是相位。
这里需要纠正一个概念：时间差并不是相位差。如果将全部周期看作 2Pi 或者 360 度的话，相位差则是时间差在一个周期中所占的比例。我们将时间差除周期再乘 2Pi，就得到了相位差。
连续信号的傅里叶变换
上面说的是傅里叶级数，现在说傅里叶变换，对于连续信号x(t)来讲，它和它的频谱函数有下列关系
上面的式子叫傅里叶变换，也就是从时域转换到频域，下面的式子叫傅里叶反变换，也就是从频域恢复到时域。
对于时域上连续非周期的函数，经过傅里叶变换后在频域上也是连续非周期函数。
对于时域上连续周期的函数，经过傅里叶变换后在频域上是离散周期的函数。
也就是说：某一个域离散不离散映射到另外一个域就是周期与非周期！（离散信号的傅里叶变换待会再说）
看几个例子：门函数的傅里叶变换（上图）和余弦函数的傅里叶变换（下图）
