连续信号的傅里叶变换总结

1，周期信号的傅里叶级数

这里省略正余弦表达式，只给出指数表达式。
先给出狄利赫里条件：（1）在任何周期内， $f(t)$须绝对可积；（2）在任一有限区间中， $f(t)$只能取有限个最大值或最小值；（3）在任何有限区间上， $f(t)$只能有有限个第一类间断点。
设 $f(t)$周期为 ${T_1}$ ，满足狄利赫里条件，则
其中： $f(t) = \sum\limits_{n = - \infty }^\infty {{F_n}{e^{jn{w_1}t}}}$
如果将 $n{w_1}$和 ${F_n}$（ $n = - \infty ,..., - 2, - 1,0,1,2,...,\infty$）一一对应，则可以得到离散的谱线，分为幅度谱和相位谱。

2，非周期信号的傅里叶变换

假设周期 ${T_1} \to \infty$，并且满足狄利赫里条件，则上式可变为
${T_1}{F_n} = \int_{ - \infty }^\infty {f(t){e^{ - jn{w_1}t}}dt}$
因为 ${w_1} \to 0$，根据1中所述，离散谱线间隔将趋近0，于是离散变连续， $n{w_1} \to w$。
我们令 $F(jw) = {T_1}{F_n} = \int_{ - \infty }^\infty {f(t){e^{ - jwt}}dt}$称为 $f(t)$的傅里叶变换，也叫频谱密度函数，是一个连续函数。
同时 $f(t) = \frac{1}{{2\pi }}\int_{ - \infty }^\infty {F(jw){e^{jwt}}dw}$称为傅里叶逆变换。

3，周期信号的傅里叶变换

周期信号除了傅里叶级数也可以用傅里叶变换表示。
假设 $f(t)$是以 ${T_1}$为周期的周期函数，它在一个周期内截断得到 ${f_T}(t)$。
${f_T}(t) \leftrightarrow {F_T}(jw)$
由于 $f(t) = \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{f_T}(t - k{T_1})} = {f_T}(t) * \sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\delta (t - k{T_1})}$
则 $F(jw) = {F_T}(jw)\frac{{2\pi }}{{{T_1}}}\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {\delta (w - \frac{{2\pi k}}{{{T_1}}})} = {w_1}\sum\limits_{k = - \infty }^\infty {{F_T}(jk{w_1})\delta (w - k{w_1})}$
可以看到周期函数的傅里叶变换是冲激函数在对应的 ${F_T}(jk{w_1})$上的采样，也是一个离散谱线。

4，拉普拉斯变换

如果信号不满足狄利赫里条件（1），即不满足绝对可积，则无法对其进行傅里叶变换。但是如果我们用一个实指数信号 ${e^{ - \sigma t}}$与 $f(t)$相乘，只要 $\sigma$的值选择得当，使 $f(t){e^{ - \sigma t}}$满足绝对可积，就可以对其进行傅里叶分析了。
记拉普拉斯变换 $L(s) = F(\sigma + jw) = \int_{ - \infty }^\infty {f(t){e^{ - \sigma t}}{e^{ - jwt}}dt = } \int_{ - \infty }^\infty {f(t){e^{ - st}}dt}$
其中 $s = \sigma + jw$
拉普拉斯逆变换 $f(t) = \frac{1}{{2\pi j}}\int_{\sigma - j\infty }^{\sigma + j\infty } {L(s){e^{st}}ds}$
傅里叶变换将时域转换到频域，而拉普拉斯变换将时域转换到复频域（s域）。
满足绝对可积条件 $\int_{ - \infty }^\infty {\left| {f(t)} \right|{e^{ - \sigma t}}} < \infty$的 $\sigma$的取值范围称为拉氏变换的收敛域ROC，一般在求解拉普拉斯变换时可以得到其收敛域。