信号公式汇总之傅里叶变换

傅里叶级数
$f(t)=a_n+\sum_{n=1}^{\infty}{[a_ncos(n\omega_1t)+b_nsin(n\omega_1t)]}$

其中： $a_0=\frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)dt$

       $a_n=\frac{2}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)\cdot cos(n\omega_1t)dt$

       $b_n=\frac{2}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)\cdot sin(n\omega_1t)dt$

合并同频项： $f(t)=d_0+\sum_{n=1}^{\infty}{d_nsin(n\omega_1t+\theta _n)}$

其中： $d_0=a_0 , d_n=\sqrt{ a_n^2+b_n^2 },\theta _n=arctan\frac{a_n}{b_n}$

指数形式： $f(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{F_n\cdot e^{jn\omega_1t}}$

其中： $F_n=\frac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1} f(t)e^{-jn\omega_1t}dt=$

$\frac{1}{2}(a_n-jb_n)=\frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}e^{j\varphi_n},\varphi_n=arctan(-\frac{b_n}{a_n})$

帕塞瓦尔定理： $P=\sum_{n=-\infty}^{\infty}{|F_n|^2}$

傅里叶变换
正变换： $F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$

逆变换： $f(t)=\mathscr{F}[F(\omega)]=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega$


基本信号的傅里叶变换：

单边指数： $e^{-\alpha t}u(t)\leftarrow\rightarrow$   $\frac{1}{\alpha+j\omega}$

双边指数： $e^{-\alpha |t|}$     $\leftarrow\rightarrow$   $\frac{2\alpha}{\alpha^2+\omega^2}$

门信号： $g_{\tau}(t)$      $\leftarrow\rightarrow$   $\tau Sa(\frac{\omega \tau }{2})$

符号函数： $sgn(t)$   $\leftarrow\rightarrow$    $\frac{2}{j\omega}$

冲激函数： $\delta (t)$      $\leftarrow\rightarrow$    $1$

常数1：     $1$        $\leftarrow\rightarrow$    $2\pi\delta(\omega)$

冲激偶：   $\delta{\prime}(t)$      $\leftarrow\rightarrow$    ${j\omega}$

阶跃函数： $\varepsilon(t)$      $\leftarrow\rightarrow$    ${\pi\delta(\omega)+\frac{1}{j\omega}}$

性质：

线性：   $a_1f_1(t)+a_2f_2(t)$      $\leftarrow\rightarrow$    $a_1F_1(\omega)+a_2F_2(\omega)$

对称性：   $F(t)$      $\leftarrow\rightarrow$    $2\pi f(-\omega)$

尺度变换：   $f(at)$      $\leftarrow\rightarrow$    $\frac{1}{|a|}F(j\frac{\omega}{a})$

虚实特性：   $F(\omega)=R(\omega)+jX(\omega),R(\omega)偶,X(\omega)奇$     
             $f(t)实偶，F(\omega)实偶；f(t)实奇，F(\omega)虚奇$

位移：时移： $f(t-t_0)$ $\leftarrow\rightarrow$ $F(j\omega)e^{-j\omega t_0}=>$ $\delta(t-t_0)$ $\leftarrow\rightarrow$ $e^{-j\omega t_0}$
      频移： $f(t)e^{j\omega_0 t}$ $\leftarrow\rightarrow$ $F[j(\omega-\omega _0)] =>$ $e^{j\omega_0 t}$ $\leftarrow\rightarrow$ $2\pi\delta(\omega-\omega _0)$

==> $\begin{cases} {}cos\omega_0 t =\frac{1}{2}(e^{j\omega t}+e^{-j\omega t})\\{sin\omega_0 t =\frac{1}{2j}(e^{j\omega t}-e^{j\omega t})} \end{cases}=>\begin{cases} {f(t)cos(\omega_0 t)\leftarrow\rightarrow\frac{1}{2}[F(\omega-\omega_0)+F(\omega+\omega_0)]}\\ {f(t)sin(\omega_0 t) \leftarrow\rightarrow \frac{1}{2j}[F(\omega-\omega_0)+F(\omega+\omega_0)]} \end{cases}$

==> $\begin{cases} {cos\omega_0t \leftarrow\rightarrow \pi [\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0))] }\\ {sin\omega_0t \leftarrow\rightarrow \frac{\pi}{j} [\delta(\omega-\omega_0)-\delta(\omega+\omega_0))]}\end{cases}$

$调制定理：若信号f(t)乘以cos\omega_0t或sin\omega_0t，等效于f(t)的频谱一分为二，沿数轴向左或向右各平移\omega_0$

卷积：时域卷积： $f_1(t)*f_2(t) \leftarrow\rightarrow F_1(\omega)\cdot F_2(\omega)$

      频域卷积： $f_1(t)\cdot f_2(t) \leftarrow\rightarrow \frac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega)$

微积分：时域： $\begin{cases} {微分:\frac{df(t)}{dt} \leftarrow\rightarrow j\omega F(\omega )}\\{积分:\int_{-\infty}^{t} f(\tau)d\tau \leftarrow\rightarrow \frac{1}{j\omega} F(\omega)+\pi F(0)\delta(\omega)} \end{cases}$

        频域： $\begin{cases} {微分:-jtf(t) \leftarrow\rightarrow \frac{dF(\omega)}{d\omega}}\\ {积分:\frac{f(t)}{jt} \leftarrow\rightarrow \int_{-\infty}^{\omega}F(u)du} \end{cases}$

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欧拉公式:
$e^{j\theta}=cos\theta+jsin\theta$

==> $\begin{cases} {e^{j\omega_1t}=cos\omega_1 t+jsin\omega_1 t}\\{e^{-j\omega_1t}=cos\omega_1 t-jsin\omega_1 t} \end{cases}=>\begin{cases} {cos(n\omega_1 t)=\frac{1}{2}(e^{jn\omega_1t}+e^{-jn\omega_1t})}\\ {sin(n\omega_1 t)=\frac{1}{2j}(e^{jn\omega_1t}-e^{-jn\omega_1t})} \end{cases}$

阶跃信号和冲激信号:

冲激函数：
   加权特性： $f(t)\delta(t)=f(0)\delta(t),f(t)\delta(t-t_0)=f(t_0)\delta(t-t_0)$
   抽样特性： $\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t)dt=\int_{-\infty}^{\infty}f(0)\delta(t)dt=f(0)$
           $\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta{\prime}(t-t_0)dt=f(t_0)$
   尺度变换： $\delta(at)=\frac{1}{|a|}\delta(t),\delta(at-t_0)=\frac{1}{|a|}\delta(t-\frac{t_0}{a})$

冲激偶：
   抽样特性： $\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\delta{\prime}(t)dt=\left. f(t)\delta(t) \right| _{-\infty}^{\infty}-\int_{-\infty}^{\infty}\delta df(t)=$             $-\int_{-\infty}^{\infty}\delta(t)f{\prime}(0)dt=-f{\prime}(0)$
   加权特性： $f(t)\delta{\prime}(t)=f(0)\delta{\prime}(t)-f{\prime}(t)\delta(t)$
              $f(t)\delta{\prime}(t-t_0)=f(t_0)\delta{\prime}(t-t_0)-f{\prime}(t_0)\delta(t-t_0)$

卷积运算: $f(t)=f_1(t)*f_2(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f_1(\tau)f_2(t-\tau)d\tau$

性质：微分： $f(t)=f_1{\prime}(t)*f_2(t)=f_1(t)*f_2{\prime}(t)$
      积分： $f^{-1}(t)=f_1^{-1}(t)*f_2(t)=f_1(t)*f_2^{-1}(t)$
      微积分： $f(t)=f_1^{-1}(t)*f_2{\prime}(t)=f_1(t)*f_2(t)$
      =======> $f^{(i)}(t)=f_1^{(j)}(t)*f_2^{(i-j)}(t)$
      交换律： $f_1(t)*f_2(t)=f_2(t)*f_1(t)$
      分配律： $f_1(t)\ast [f_2(t)+f_3(t)]=f_1(t)\ast f_2(t)+f_1(t)\ast f_3(t)$
        $==>$ $并联系统h(t)=h_1(t)+h_2(t)$
      结合律： $[f_1(t)\ast f_2(t)]\ast f_3(t)=f_1(t)\ast [f_2(t)\ast f_3(t)]$
        $==>$ $串联系统h(t)=h_1(t)*h_2(t)$

与冲激函数、冲激偶、阶跃函数
      冲激函数 $\delta(t)$： $f(t)*\delta(t)=f(t)$
                       $f(t)*\delta(t-t_0)=f(t-t_0)$
                            $f(t-t_1)\ast \delta(t-t_2)=f(t-t_2)\ast \delta(t-t_1) =f(t-t_1-t_2)$
      冲激偶 $\delta{\prime}(t)$： $f(t)*\delta{\prime}(t)=f{\prime}(t)*\delta(t)=f{\prime}(t)$
                   $f(t)*\delta{\prime\prime}(t)=f{\prime\prime}(t)*\delta(t)=f{\prime\prime}(t)$
      阶跃函数 $\varepsilon(t)$： $f(t)*\varepsilon(t)=f(t)*\delta^{-1}(t)=f^{-1}(t)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau)d\tau$
                   $f(t)*\varepsilon(t-t_0)=\int_{-\infty}^{t}f(\tau-\tau_0)d\tau=\int_{-\infty}^{t-t_0}f(\tau)d\tau$
（与阶跃函数卷积就是变上限积分，阶跃函数是个理想的积分器）

时移特性： $f_1(t-t_1)*f_2(t-t_2)=f(t-t_1-t_2)$