区间贪心：区间不相交问题和区间选点问题

贪心算法

目的：求解一类问题的最优解或较优解
解释：将一个问题分成几个局部，解决问题时总是考虑局部最优（或较优）解，这种情况下得到的结果也是最优（或较优）的
注意：我们再看贪心算法解决的一道题时可能会发现，贪心算法有很多“不一定”，“不一定”得到的就是最优解，贪心算法并不强求得到最优解，得到较优解也可以

区间贪心：区间不交集问题

题目

给出N个开区间（x，y），从总选择尽可能多的区间，使这些开区间两两之间没有交集，输出满足条件的区间数量
例如对开区间（1，3）、（2，4）、（3，5）、（6，7），两两之间没有交集的区间为（1，3）、（3，5）、（6，7），输出结果为3

解析

如果出现了两个区间完全包含的情况，我们一定会选被包含的那个区间，这样才能选取到尽可能多的、不相交的空间

这种情况我们稍后再说，我们先假设，所有的区间都没有完全包含情况，那么如果把每个区间都按照右端左端点从大到小排列的话，区间大概是这样的

如果x1<x2<x3，那么一定会有y1<y2<y3，因为区间没有完全包含的情况，如果y2>y1，区间I2就把区间I1完全包住了，这不符合所有的区间都没有完全包含情况，同理，也没有左端点相同的情况
这种情况下，我们考虑部分“可能”的最优解：
先从I1开始选择区间，之后一直往下找，直到找到与I1没有相交部分的区间I4
找到I4其实就是因为I4的右端点小于I1的左端点：y4<=x1（因为是开区间，所以可以等于）
之后继续这样执行，找到所有的区间

这样我们就找到了在所有的区间都没有完全包含情况的尽可能多的所有不相交区间
注意，贪心算法有很多“可能”，这样的方法找到的不一定真的是最多的

那么如果区间出现了有完全包含情况呢，这样的话就会出现左端点相同的两个区间，刚才我们的排序是按照左端点降序排，那么万一左端点相同，我们就按照右端点升序排

1. 包含方式：左端点相同

当为左端点相同时，按照上述排序再向下查找区间即可解决，我们说过：如果出现了两个区间完全包含的情况，我们一定会选被包含的那个区间，这样才能选取到尽可能多的、不相交的空间

那么同理，我们是按照左端点排序的，如果找与I1不相交的区间的话，I2明显比I3更先被考虑，由于I2更短，被选中为结果区间的可能更大
如果I2被考虑了，由于I2与I3的左端点相同，那么一定I3的右端点不小于等于I2的左端点，I3就不会被考虑了

2. 包含方式：右端点相同或左右端点不同

右端点相同时可能会两种情况：

• I2左端点小于I3
  
• I2左端点大于I3
  

左右端点不同：

明显能看出，按照上面的排序方式就能正常的解决这个问题，都是先找尽可能短的，然后找不相交的

代码实现

import java.io.IOException;
import java.io.BufferedReader;
import java.io.InputStreamReader;
import java.util.Arrays;

// 区间类
class Section implements Comparable<Section>{
	int left; // 左端点
	int right; // 右端点
	
	@Override
	public int compareTo(Section o) {
		// 首先按照左端点的降序排列
		int s = Integer.compare(this.left, o.left);
		if(s == 0) // 如果左端相同，按照右端点升序排列
			return Integer.compare(this.right, o.right);
		return s;
	}
	
}

public class Main{
	public static void main(String[] args) throws IOException{
		BufferedReader bf = new BufferedReader(new InputStreamReader(System.in));
		// 存放临时字符串数组（个人习惯）
		String[] tempStrArr;
		
		// 共有N个区间
		int N = Integer.parseInt(bf.readLine());
		
		// 存放所有区间
		Section[] I = new Section[N];
		
		// 每行一个区间，第一个数左端点，第二个数右端点，空格隔开
		// 读取所有区间并存入I
		for(int i=0; i<N; i++) {
			tempStrArr = bf.readLine().split(" ");
			I[i].left = Integer.parseInt(tempStrArr[0]);
			I[i].right = Integer.parseInt(tempStrArr[1]);
		}
		
		// 首先按照左端点的降序排列，如果左端相同，按照右端点升序排列
		Arrays.sort(I);
		
		// 不相交区间的个数，初始为1是因要为算上第一个区间，
		// 从第二个区间开始考虑是否和第一个区间相交
		int count = 1;
		
		// 记录上一个被选中区间的左端点
		int lastLeft = I[0].left;
		
		// 从第二个区间开始考虑是否和第一个区间相交
		for(int i=1; i<N; i++) {
			// 开区间，所以可以等于
			if(I[i].right <= lastLeft) {
				// 更新最后一个不相交区间的左端点
				lastLeft = I[i].left;
				// 不相交区间的个数+1
				count++;
			}
		}
		
		System.out.println("不相交区间的个数：" + count);
	}
}

区间贪心：区间选点问题

题目

与区间不相交问题类似，本题给出N个闭区间[x，y]，要求我们在这些区间中选取几个点，求最少需要多少个点，才能使每个闭区间中至少存在一个点

分析

本题和不相交问题的策略一致，只要取每个不相交的区间的左端点就可以了，还有一点就是，本题为闭区间，需要把I[i].right <= lastLeft改成I[i].right < lastLeft

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参考：胡凡《算法笔记》