L2-004 这是二叉搜索树吗？-团体程序设计天梯赛GPLT

题目来源：团体程序设计天梯赛-练习集
题目地址：L2-004 这是二叉搜索树吗？

题目大意

给定一个长度为 $n$ 的序列，判断这是否是对一棵二叉搜索树或其镜像进行前序遍历的结果。如果是，则在一行中输出 YES ，然后在下一行输出该树后序遍历的结果，否者直接输出 NO。

题目分析

1. 预备知识
前序遍历：先访问根节点，再遍历左子树，最后遍历右子树。

后序遍历：先遍历左子树，再遍历右子树，最后访问根节点。
（注意：遍历子树的时候也要按照相应的的方式遍历。）

二叉搜索树的基本性质（如题目描述所示）

2. 结题要义
首先，我们假设输入的序列 $a[\ ]$ 就是一棵二叉搜索树进行前序遍历的结果， $l$ 和 $r$ 分别为序列 $a[\ ]$ 的左右边界。

根据前序遍历的性质，我们可以知道 $a[l]$ 即为这棵树的根节点、 $l+1$ 为左子树的左边界， $r$ 为右子树的右边界。然后我们定义两个指针 $tl$ 、 $tr$ 分别表示右子树的左边界、左子树的右边界。（注意哪个对应哪个）

初始化 $tl = l+1$ 、 $tr=r$，接着根据二叉树搜索树的性质 ， $tl$ 往右移动，找到第一个大于或等于根节点 $a[l]$ 的节点、 $tr$往右移动，找到第一个小于根节点 $a[l]$ 的节点。过程如下图所示，

这样就确定了序列中根节点、左子树和右子树的位置，我们递归进行这个这个过程，就可以得到整棵树的结构，过程如下图所示：

为了简便，我们可以省去建树的过程，在确定了序列中根节点、左子树和右子树的位置后，就直接进行后序遍历。由确定子树范围的过程可得，若这是一颗二叉搜索树，则必有 $tl-tr=1$ ，要是不满足这个条件，我们就直接停止遍历。

访问根节点时，我们可以将根节点放入 $vector$ 中（ $vector$即为后序遍历序列）。最后我们通过判断 $vector$ 中的元素个数是否等于 $n$ 来判断这是否为二叉搜索树。

如果等于 $n$ ，就可以输出 $vector$ ；否则就判断是否为镜像。至于求判断镜像的过程也基本和上诉无异，区别在于确定子树范围的条件而已。

代码如下

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;
const int maxn = 1e3 + 10;
int n, flag;
/**
  * a[]用于存储输入的前序遍历序列
  * ans用于存储后序遍历的结果
  */
int a[maxn];
vector<int> ans;

/**
  * 后序遍历这颗二叉树
  *
  */
void dfs(int l, int r) {
    if (l > r) return ;
    //tl表示右子树的左边界，tr表示左子树的右边界
    int tl = l + 1, tr = r;
    if (flag) {
        //判断二叉搜索树的“镜像”
        while (tl <= r && a[tl] >= a[l]) tl++;
        while (tr > l && a[tr] < a[l]) tr--;
    } else {
        //判断二叉搜索树
        while (tl <= r && a[tl] < a[l]) tl++;
        while (tr > l && a[tr] >= a[l]) tr--;
    }
    //不满足二叉搜索树的条件
    if (tl - tr != 1) return ;
    //访问左子树
    dfs(l + 1, tr);
    //访问右子树
    dfs(tl, r);
    //访问根节点
    ans.push_back(a[l]);
}


int main()
{
    cin >> n;
    for (int i = 1; i <= n; i++) cin >> a[i];
    //先检查是不是二叉搜索树的“镜像”
    dfs(1, n);
    //如果不满足，则再检查是不是二叉搜索树
    if (ans.size() != n) {
        flag = 1;
        ans.clear();
        dfs(1, n);
    }
    if (ans.size() != n) {
        cout << "NO" << endl;
    } else {
        cout << "YES" << endl;
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            cout << ans[i] << (i == n -1 ? '\n' : ' ');
        }
    }
    return 0;
}

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