札记一卡特兰数

参考博文如下列出
https://blog.csdn.net/wookaikaiko/article/details/81105031
https://www.jianshu.com/p/26925a2fc5e7

什么是卡特兰数

卡特兰数满足一下的性质：

令 $h(0) = 1, h(1) = 1$，卡特兰数满足递推式：

$h(n)＝ h(0)*h(n-1)+h(1)*h(n-2)+...+h(n-1)h(0)　(n>=2)$

有计算通式 $h(n)=\frac{C^{_{2n}^{n}}}{n+1}$

栗子

腾讯实习招聘笔试题
在图书馆一共6个人在排队，3个还《面试宝典》一书，3个在借《面试宝典》一书，
图书馆此时没有了面试宝典了，确保三个人都能借到书，求他们排队的总数？

解题思路：
3个还书的人可以有 3！种顺序.
3个借书的人同样有 3！种顺序.
图书馆没有书，那必须保证还书的数量不少于借书的数量，这样的排序组合数。
我们将还书的人以0标记，借书的人以1标记，那么这样的组合有：
000111 001011 001101 010011 010101
所以最终的答案就是 $5 * 3!*3！= 180$；

阿里巴巴的笔试题目：
说16个人按顺序去买烧饼，其中8个人每人身上只有一张5块钱，另外8个人每人身上只有一张10块钱。烧饼5块一个，开始时烧饼店老板身上没有钱.16个顾客互相不通气，每人只买一个。问这16个人共有多少种排列方法能避免找不开钱的情况出现。

由上面的一题我们知道，答案是 $n * 8!*8!$，
其中这个n如何求解呢？
可以抽象为8个0，8个1的从左到右数，确保在当前数的前面，出行的0的次数不少于1的次数的组合数。

进出栈问题
那么一个足够大的栈的进栈序列为1,2,3,⋯,n时有多少个不同的出栈序列？

对于一组数 1,2,3,4,5,…,k.,…,n
假设最后出栈的元素为k
过程一：那么k之前有 k-1个数比k小，对于这k-1个数，在k入栈之前，已经入栈且出栈，栈混洗可能的结果是 $f(k-1)$。
过程二：那么k之后有 n-k个数比k大，对于这n-k个数，在k出栈之前，已经入栈且出栈，栈混洗可能的结果是 $f(n-k)$。
这两个过程独立，对于此时的k，可能的排列有 $f(k-1)* f(n-k)$种。
又因为 k的取值为1,2,3,…,n。所以有：

$f(n)=\sum_{k=1}^{n}f(k-1)*f(n-k)$

显然，其满足卡特兰数。

二叉树构成问题
有n个结点，问总共能构成几种不同的二叉树

我们可以假设，如果采用中序遍历的话，根结点第k个被访问到，则根结点的左子树有k-1个点、根结点的右指数有n-k个点。k的取值范围为1到n。讲到这里就很明显看得出是卡特兰数了。

有n+1个叶子的满二叉树的个数？

事实上，向左记为+1，向右记为−1，按照向左优先的原则，从根节点开始遍历．例如第一个图记为+1,+1,+1,−1,−1,−1,于是由卡特兰数的含义可得满二叉树的个数为卡特兰数 $Cn$

凸多边形的三角形划分
一个凸的n边形，用直线连接他的两个顶点使之分成多个三角形，每条直线不能相交，问一共有多少种划分方案。

这也是非常经典的一道题。我们可以这样来看，选择一个基边，显然这是多边形划分完之后某个三角形的一条边。图中我们假设基边是p1pn，我们就可以用p1、pn和另外一个点假设为pi做一个三角形，并将多边形分成三部分，除了中间的三角形之外，一边是i边形，另一边是n-i+1边形。i的取值范围是2到n-1。所以本题的解即为 $c(n)=c(2)*c(n1)+c(3)*c(n-2)+...c(n-1)*c(2)$，满足卡特兰数。

在n*n的格子中，只在下三角行走，每次横或竖走一格，有多少中走法？

其实向右走相当于进栈，向左走相当于出栈，本质就是n个数出栈次序的问题，所以答案就是卡特兰数。

引理

n+1个数连乘，不同的乘法顺序数为卡特兰数 $Cn$

考虑：由n对括号形成的合法的表达式的个数
如n=3时，先取4个数1,2,3,4，然后在第一个数下设一个指针，将一个左括号看成是指针右移一格，而将右括号看成是将指针当前指向的数与其左侧的一个数作乘积，并删除左侧的那个数，那么当执行完括号表达式，就得到了一种可能的相乘顺序，如图．