【模板】卡特兰数

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Catalan数证明

1.卡特兰数递推式：
$$a_n=\{\begin{array}{l}1,n=0\\ {\sum }_{i=0}^{n-1}{a}_i\times a_{n-1-i},n>0\end{array}$$
2.卡特兰数组合数：
$$a_n=C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$$
证明递推式

先举个例子，假如你身上没有钱，但是你想花钱，你每次可以花一元钱，只要你有钱你可以连续花钱，你父母准备给你n元钱但是每次只给你一元钱，只要还没给你n元钱就可以一直给，问你有多少种花钱方案？

如下图，我们令父母给钱代表向右移动一个单位，花钱代表向上一个单位初始在原点（你没有花钱，你父母也没有给你钱）最终父母给我们n元钱，我们花掉n元钱。根据实际情况我们可以知道，我们花的钱一定不超过父母给我们的钱。抽象一下现在要求从(0,0)到(n,n)的一条路径并且路径上的所有点的纵坐标小于等于横坐标

求从(0,0)到(n,n)的一条路径的方案数为：$C_{2n}^n$

如果某条路径不合法，如上图黑色路径，路径上存在点的纵坐标大于横坐标，我们找到第一个不符合该条件的点如图橘黄色的点，该点一定落在$y=x+1$这条直线上，我们将此不合法路径橘色点的后部分关于$y=x+1$做对称，如图黄色部分该终点一定落在$(n-1,n+1)$。因此从求从(0,0)到(n,n)的不合法路径的方案数可以转化为从(0,0)到(n-1,n+1)的一条路径的方案数为：$C_{2n}^{n-1}$

从(0,0)到(n,n)的一条路径并且路径上的所有点的纵坐标小于等于横坐标：$C_{2n}^n-C_{2n}^{n-1}$

卡特兰数应用

1. 进栈
2. 括号匹配
3. 画二叉树
4. 凸多边形三角划分
5. …