卡特兰数详解

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关于卡特兰数：

计算公式

一般性质

代码实现：

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关于卡特兰数：

卡特兰数是一种经典的组合数，经常出现在各种计算中，其前几项为 : 
   1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786……

计算公式

卡特兰数一般的计算公式： 
另类递推公式：C(n)=C(n-1)*((4*n-2)/(n+1));

一般性质

Cn的另一个表达形式为 
所以，Cn是一个自然数，这一点在先前的通项公式中并不显而易见。 
这个表达形式也是André对前一公式证明的基础。

卡塔兰数满足以下递推关系 
 
它也满足 
 
这提供了一个更快速的方法来计算卡塔兰数。

所有的奇卡塔兰数Cn都满足n = 2^k − 1。 
所有其他的卡塔兰数都是偶数。

代码实现：

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    long long Catalan[100],ans;//范围自行高精度或者取模
    int n;
    Catalan[0] = 1;
    for(int i = 1;i < n;++i) Catalan[i] = Catalan[i - 1] * i;
    while(cin >> n){
        ans = Catalan[n << 1] / (Catalan[n] * Catalan[n + 1]);
        cout << ans << endl;
    }
    return 0;
}