卡特兰数公式

版权声明：本文为博主原创文章，未经博主允许不得转载。 https://blog.csdn.net/weixin_37895339/article/details/79769640

公式一

$C_{2n}^n - C_{2n}^{n+1} = \frac{C_{2n}^n }{n+1}$

题目一

假设有n对左右括号，请求出合法的排列有多少个？合法是指每一个括号都可以找到与之配对的括号，比如n=1时，（）是合法的，）（不合法。
分析：n对括号的排列共有 $C_{2n}^n$种，错误的排列共有 $C_{2n}^{n+1}$或 $C_{2n}^{n-1}$种。最终结果为
$C_{2n}^n - C_{2n}^{n+1} = \frac{C_{2n}^n }{n+1}$

题目二

n个数进出栈的顺序有多少种？
分析：出栈的时候栈里必须有数，因此与题目一相同。
$C_{2n}^n - C_{2n}^{n+1} = \frac{C_{2n}^n }{n+1}$

题目三

2n个人排队买票，n个人拿5元钱，n个人拿10元钱，票价是5元一张，每个人买一张票，售票员手中没有零钱，问有多少种排队方法让售票员可以顺利卖票？
分析：卖票的过程中必须要有5元在，因此5元可以看成左括号，10元看成右括号，与题目一相同。

公式二

$\begin{aligned} f(n) &= f(0)*f(n-1) +f(1)*f(n-2)+f(2)*f(n-3)+\ldots+f(n-1)*f(0)\\ &=\frac{C_{2n}^n}{n+1} \end{aligned}$

题目四

求n个无差别的节点构成的二叉树有多少种不同的结构。
分析：假设n个无差别的节点构成的不同结构树为 $f(n)$
$f(0)$表示空树，所以规定只有1种结构。
将n个节点排成一排，如果把第1个节点当做头剩余节点就是右子树那么共有 $f(0)f(n-1)$种排列。
如果把第2个节点当做头，第1个节点为左子树，第3个节点及以后为右子树，那么共有 $f(1)f(n-2)$中排列，以此类推，直到 $f(n-1)f(0)$。
假设 $f(0)=1,f(1)=1,f(2)=2,f(3)=5$时
$\begin{aligned} f(n) &= f(0)*f(n-1) +f(1)*f(n-2)+f(2)*f(n-3)+\ldots+f(n-1)*f(0)\\ &=\frac{C_{2n}^n}{n+1} \end{aligned}$

题目五

12个高矮不同的人，拍成两排，每排必须是从矮到高排列，而且第二排比对应的第一排的人要高，问排列方式有多少种？
分析：假设第一排的人编号为0，第二排的人编号为1。
如果为000011010111，则前4个人在第一排，第5,6个人在第二排，第7个人在第一排，第8个人在第二排，第9个人在第一排，第10,11,12人在第二排。
如果有前缀1比0多的话，说明必然会出现不合法的情况。题目变为任意前缀不能出现1比0多的情况，所以与题目一相同。