常见收敛级数

0.常见级数列表

https://en.wikipedia.org/wiki/Convergent_series

1.想到或者搜到的证明

$$\begin{equation} 1+\frac {1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+ ... =\frac{\pi^2}{6} \end{equation}$$
推导证明：
$$\begin{equation} sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... \end{equation}$$
同时,有：
$$\begin{equation} sin(x)=x(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{(2\pi)^2})(1-\frac{x^2}{(3\pi)^2})... \end{equation}$$
上式满足 $x=k\pi$时， $sin(x)=0$，并且 $x=0$时， $sin'(x)=1$
两个式字中的 $x^3$系数应该相同：
$$-\frac{1}{3!}=-\frac{1}{\pi^2}-\frac{1}{(2\pi)^2}-\frac{1}{(3\pi)^2}-...$$
整理一下，可得:
$$\frac{\pi^2}{6}=1+\frac {1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+ ...$$

几何证明：
https://www.youtube.com/watch?v=d-o3eB9sfls

其他：
随便取两个正整数，他们互素的概率是 $\frac{6}{\pi^2}$，
证明:https://www.youtube.com/watch?v=LFwSIdLSosI
总结一下就是，使用图中的公式：

这个公式的证明：

还有一种证明方法：
先用几何数列的求和公式，

$$\begin{align*} \frac{1}{1-\frac{1}{2^z}}&=1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{8^z}+...\\ \frac{1}{1-\frac{1}{3^z}}&=1+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{27^z}+...\\ ... \end{align*}$$
把式子乘起来，
$$\begin{align*} \frac{1}{(1-\frac{1}{2^z})(1-\frac{1}{3^z})(1-\frac{1}{5^z})...}&=(1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{8^z}+..)(1+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{9^z}+\frac{1}{27^z}+...)...\\ \frac{1}{(1-\frac{1}{2^z})(1-\frac{1}{3^z})(1-\frac{1}{5^z})...}&=1+\frac{1}{2^z}+\frac{1}{3^z}+\frac{1}{4^z}+\frac{1}{5^z}.. \end{align*}$$
最后一步是因为所有整数都可以写成质数的乘积。

原命题的证明：
任意选两个数，
都不能被2整除的概率$(1-\frac{1}{2^2})$,
都不能被3整除的概率$(1-\frac{1}{3^2})$,
都不能被5整除的概率$(1-\frac{1}{5^2})$,
…
不能同时被任何素数整除的概率$(1-\frac{1}{2^2})(1-\frac{1}{3^2})(1-\frac{1}{5^2})...$

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https://www.youtube.com/watch?v=LFwSIdLSosI

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$$\begin{equation} 1+\frac {1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+ ... =\frac{\pi^4}{90} \end{equation}$$
推导证明：

$$\begin{align*} \frac{\pi^2}{6}&=1+\frac {1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\frac{1}{5^2}+ ... \\ \frac{\pi^4}{36}&=1+\frac {1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+...+2[\frac{1}{1^2\times2^2}+\frac{1}{1^2\times3^2} + ...\frac{1}{2^2\times3^2}+\frac{1}{2^2\times4^2}+... ]\\ \end{align*}$$
下面两式中 $x^5$的系数：
$$\begin{align*} sin(x)&=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+... \\ sin(x)&=x(1-\frac{x^2}{\pi^2})(1-\frac{x^2}{(2\pi)^2})(1-\frac{x^2}{(3\pi)^2})...\\ \frac{\pi^4}{5!}&=\frac{1}{1^2\times2^2}+\frac{1}{1^2\times3^2} + ...\frac{1}{2^2\times3^2}+\frac{1}{2^2\times4^2}+... \end{align*}$$
代入，
$$\begin{align*} \frac{\pi^4}{36}&=1+\frac {1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+...+2\frac{\pi^4}{5!}\\ \frac{\pi^4}{36}-\frac{\pi^4}{60}&=1+\frac {1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+...\\ \frac{\pi^4}{90}&=1+\frac {1}{2^4}+\frac{1}{3^4}+\frac{1}{4^4}+\frac{1}{5^4}+... \end{align*}$$

其他:
感觉用这种方法$1+\frac {1}{2^{2n}}+\frac{1}{3^{2n}}+\frac{1}{4^{2n}}+\frac{1}{5^{2n}}+...$都是可以证明的

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$$\begin{equation} 1-\frac {1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}- ... =\frac{\pi}{4} \end{equation}$$
推导证明：
$$\begin{align*} &1-\frac {1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}+ ... \\ =& \int_{0}^{1}(1-x^2+x^4-x^6+x^8-...)dx \\ =& \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x^2}dx \\ =& \arctan(x)|_{0}^{1} \\ =& \frac{\pi}{4} \end{align*}$$

几何证明：
https://www.youtube.com/watch?v=NaL_Cb42WyY

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$$\begin{equation} 1-\frac {1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+ ... =\ln(2) \end{equation}$$
推导证明：
$f(x)=ln(x+1)$的泰勒展开
或者

$$\begin{split} &1-\frac {1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+ ... \\ =& \int_{0}^{1}(1-x+x^2-x^3+x^4-...)dx \\ =& \int_{0}^{1}\frac{1}{1+x}dx \\ =& \ln(1+x)|_{0}^{1} \\ =& \ln(2) \end{split}$$

几何证明：

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$$\begin{equation} 1+\frac {1}{2!}+\frac{1}{3!}+\frac{1}{4!}+\frac{1}{5!}+ ... =e \end{equation}$$
推导证明：
这个是最简单的， $e^x$泰勒展开

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