级数

一、复数项级数

学习目标

• 会判断复数列的极限
• 会判别复级数的绝对收敛与收敛性

1、复数列的极限

     定理：复数列 { $\alpha_n$} $(n=1,2,···)$ 收敛于 $\alpha$ 的充要条件是 $\lim_{n \to \infty}a_n=a,\lim_{n \to \infty }b_n=b$

2、级数概念

    定理：级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{\alpha_n}$ 收敛的充要条件是级数 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}$ 和 $\sum\limits_{n=1}^{n}{b_n}$ 都收敛。
    如果 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{|a_n|}$ 收敛，那么 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}$ 也收敛
    如果 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{|a_n|}$ 收敛，那么称 $\sum\limits_{n=1}^{\infty}{a_n}$ 为绝对收敛；非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数。

3、判断级数收敛

    比值判别法；根值判别法；比较判别法；莱布尼兹判别法。

二、幂级数

学你目标是

• 记住阿贝尔定理并会运用
• 会求幂级数的收敛半径
• 收敛幂级数的加减法、导数、积分

1、幂级数的概念

    阿贝尔定理：如果级数 $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{c_nz^n}$ 在 $z=z_0(\neq0)$ 收敛，那么对满足 $|z|<|z_0|$ 的 $z$ ,级数必绝对收敛. 如果在 $z=z_0$ 级数发散，那么对满足 $|z|>|z_0|$ 的 $z$ ，级数必发散。

2、收敛半径的求法

    比值法：如果 $\lim_{n \to \infty}|\frac{C_{n+1}}{C_n}|=\lambda\neq 0$ 那么收敛半径 $R=\frac{1}{\lambda}$
    根植法：如果 $\lim_{n \to \infty}\sqrt[n]{|C_n|}=\mu\neq0$，那么收敛半径 $R=\frac{1}{\mu}$

3、幂级数的运算与性质

    逐项积分，逐项求导；

三、泰勒级数

    定理：设 $f(z)$ 在区域 $D$ 内解析， $z_0$ 为 $D$ 内的一点， $d$ 为 $z_0$ 到边界上各点的最短路径，那么当 $|z-z_0|<d$ 时， $f(z)=\sum\limits_{n=0}^{\infty}c_n(z-z_0)^n$成立，其中 $c_n=\frac{1}{n!}f^{(n)}(z_))，n=0,1,2,···$