5.运筹学复刻 之 单纯形法原理

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一：对偶定理

1.弱对偶定理：

对原问题和对偶问题的任意可行解(x,y)，极小化问题的值大于等于极大化问题的值

证明：
已知 max Z = C^Tx; min W = by^T
且不等式： Ax = b ; y^TA >= C^T
所以： Z = C^Tx <= y^TA x = y^Tb =W
即： Z<=W
得证

2.弱对偶的推论：

当极小化问题的解Z = 极大化问题的解W时
认为这个值是极小化问题和极大化问题的解（对偶条件下）

证明：
假设此刻Z表示的是Z的目标函数值（最大值）
Z = C^TX* <= W = y^Tb （任意y值）
假设此刻 Z* = y*^Tb，即Z的最大值等于W的最小值
所以得到y就是最小值，W就是对应的最小值

3.对偶定理：

a.原问题的最优解 X，则对偶问题的最优解为y（表达式见下面）
	且原问题和对偶问题的最优值相等  

y = B^-Tc_B

证明：
a. y = B^-Tc_B是对偶问题的可行解
b. Z = W

a.因为y = B^-Tc_B，则：y^T A= B^-1C_B^TA
又因为在原始问题中 x 是最优解，且是最大值，所以 z_j-c_j>=0
所以： B^-1C_B^TA - C^T >= 0
即： y^TA >= C^T，满足了对偶问题的要求
所以得证是可行解

b.
Z = C_B^TB^-1b
W = y^Tb = Z
所以 Z = W
得证

b.原问题有 无界解，则对偶问题 无可行解

证明:
Z -> +∞；又 W>=Z
所以：对偶问题无可行解

4.最优解的充分必要条件

已知 x，y 分别是 原问题和对偶问题的可行解
那他们是最优解的充分必要条件

（1）X_j > 0 => y^Ta_j = C_j
（2）X_j = 0 <= y^Ta_j > C_j

等价于 X_j(y^Ta_j - C_j) = 0

证明：
1.必要性： 已知最优 ⇒ X_j(y^Ta_j - C_j) = 0
最优则：Z = W
即：C^TX = Y^Tb
故：(Y^TA-C^T)X = 0
2.充分性：已知X_j(y^Ta_j - C_j) = 0 ⇒ 最优
由已知，则：(Y^TA-C^T)X = 0
即： Z = W
则：最优

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二：经济学解释

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