#4486. 「CEOI2019」游乐园

题目描述

**译自 [CEOI 2019](https://ceoi.sk/tasks/) Day2 T1「[Amusement Park](https://ceoi.sk/static/statements/amusementpark-ENG.pdf)」**

你有一个 $n$ 个节点的有向图，我们称一个合法的方案是将其中一些边的方向翻转之后使得剩下的图无环。请对于所有合法的方案，将方案中翻转方向的边的数量求和。

答案对 $998244353$ 取模。

题解

考虑到如果我们翻转 $x$ 条边使得原图变成 $\text{DAG}$ 的话，那我们可以翻转另外 $m-x$ 条边使得变成方向相反的 $\text{DAG}$ ，所以我们可以将问题转化成给一张无向图，给边定向，问 $\text{DAG}$ 的方案数，最后再乘上 $\frac{m}{2}$ 即可。

于是我们考虑状压 $\text{dp}$ ： $f[s]$ 表示点集 $s$ 构成 $\text{DAG}$ 的方案数，转移的话就考虑加入点集 $s'$ 使得 $s$ 与 $s'$ 没有交集并且 $s'$ 间没有连边，那 $s$ 到 $s'$ 的边就全部定向了。但是这样显然会算重，考虑容斥，容斥系数为 $(-1)^{(|s'|+1)}$ 。

所以我们枚举子集即可，效率： $O(3^n+2^nm)$

代码

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1<<18,P=998244353;
int n,m,A,f[N],U[N],V[N],a[N],d[N];
int main(){
    cin>>n>>m;a[0]=P-1;A=(1<<n);f[0]=1;
    for (int i=1;i<A;i++) a[i]=P-a[i&(i-1)];
    for (int i=1;i<=m;i++)
        scanf("%d%d",&U[i],&V[i]),U[i]--,V[i]--;
    for (int i=0;i<A;i++)
        for (int j=1;j<=m;j++)
            if ((i&(1<<U[j])) && (i&(1<<V[j])))
                {d[i]=1;break;}
    for (int i=1;i<A;i++)
        for (int j=i;j;j=(j-1)&i)
            if (!d[j]) (f[i]+=1ll*f[i^j]*a[j]%P)%=P;
    cout<<1ll*((P+1)>>1)*m%P*f[A-1]%P<<endl;return 0;
}