游乐园（中国剩余定理）

游乐园
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题目描述
今天是个好日子，小A和他的小伙伴们一起去逛游乐园。这时，游乐园中忽然出现了一个伪装的吸血鬼，小A和他的小伙伴们都惊呆了！小伙伴们马上跑向了游乐园的四面八方。当“吸血鬼”回家吃饭的时候，小A才发现他已经和他的小伙伴们走散了。小A是个路痴，所以他只好站在原地等小伙伴们回来。
我们可以将游乐园视为一个N行M列的矩形，最上面一行为第1行，最左边一列为第1列。每个小伙伴手里都有一张神奇的地图，地图中对应着游乐园的每行每列都有一个写着0-9中某个数字的路标。小A的K位小伙伴们每一秒都会依次进行以下行动：
1.读取他所在的位置上的路标X；
2.顺时针旋转90度X次；
3.如果他面对游乐园外，那就他会再转180度；
4.移动到他面对的位置。
小A的视力很糟糕。只有当所有的小伙伴都同时出现在他所在的位置时，他才能和他的小伙伴们团聚。小A等得很心急，所以他求助于你。请你告诉他，他和小伙伴们团聚所需要的时间。
输入
输入的第一行包括正整数N、M和K。
输入的第二行包括正整数X和Y，代表小A的位置。
输入的其他行将分别描述K个小伙伴：
·两个正整数Xi，Yi，代表第i个小伙伴开始时所在的位置。字符Ci，代表该小伙伴开始时面对的方向（U为上，R为右，D为下，L为左）；
·由0-9（含）组成的N×M的地图，其中第x行第y列的数字表示该小伙伴地图上(x, y)的位置上的路标。
输出
唯一的一行输出小A和小伙伴们团聚所需要的时间。如果小A和他的小伙伴们永远不会团聚，请输出-1。
样例输入
3 3 1
2 2
1 1 R
010
000
000

3 4 2
2 2
3 4 R
2327
6009
2112
3 2 R
1310
2101
1301

4 4 3
4 3
1 1 U
1001
0240
3322
2327
1 3 L
9521
2390
3020
2421
2 2 D
3397
2013
1102
7302
样例输出
3

8

296
提示
【数据范围】
对于30%的数据，如果小A和他的小伙伴们能够团聚，团聚的总秒数小于10^6；
对于70%的数据，3<=N, M<=40；
对于100%的数据，3<=N, M<=50，1<=K<=5如果小A和他的小伙伴们能够团聚，团聚的总秒数小于10^18。
题解：
在扯这道题之前，先扯一波中国剩余定理。
科普时间：
一元线性同余方程组问题最早可见于中国南北朝时期（公元5世纪）的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做“物不知数”问题，原文如下：
有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？
即，一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。《孙子算经》中首次提到了同余方程组问题，以及以上具体问题的解法，因此在中文数学文献中也会将中国剩余定理称为孙子定理。
正题：
问题描述：用数学的语言来说，就是给定$n$个方程$x$%$a_i=b_i$，求$x$的最小正整数解。
构造：当$a_i$两两互质时，我们可以构造出x。
令$M=\prod_{i=1}^na_i$，如果$x$是一个解，则$x+M$也是一个合法的解，反之亦然。
令$M_i=\prod_{j=1,j\ne i}^na_j$，$M_i^{-1}$表示$M_i$关于$a_i$的逆元。
则$x=\sum_{i=1}^nb_iM_iM_i^{-1}$%$M$。
接下来证明$x$的确是方程组的一个解。
对于第$i$个方程，当$j=i$时，$b_jM_jM_j^{-1}$%$a_i=b_i$。
当$j\ne i$时，$M_j$%$a_i=0$，因此$b_jM_jM_j^{-1}$%$a_i=0$。
所以$x$%$a_i=b_i$成立。
那么不互质的情况呢？
不妨假设我们要解方程$x$%$a_1=b_1$和$x$%$a_2=b_2$。
则$x = k_1a_1 + b_1 = k_2a_2 + b_2$。
化简得$k_1a_1-k_2a_2=b_2-b_1$，利用$exgcd$求出$x$的一个解$r$。
那么$x$%$lcm(a_1,a_2)=r$。
对于更多的方程，一一合并即可。
好，开始扯游乐园这道题了。
首先裂点，将每一个点拆分成$4$个，分别表示不同的朝向。
可以发现每个人走的路径存在循环节，且为一个$ρ$形循环。
枚举每一个人到达终点时的朝向，设环的大小为$len_i$，第一次到达该点的时刻为$t_i$。
若该点不在环上，则答案必须为$t_i$，否则答案为$k*len_i+t_i$。
用中国剩余定理求解即可。
$Code:$

#include<cstdio> 
#include<algorithm> 
#include<cstring> 
#define N 60 
#define ll long long 
#define INF 100000000000000000 
using namespace std; 
ll n,m,k,x1,y1,a[N][N],b[6][4],c[6][4],d[6],f[N][N][4],ans=INF; 
void work(ll &x,ll &y,ll &z) 
{ 
    (z+=a[x][y])%=4; 
    if(x==1&&z==0)z=2; 
    if(y==1&&z==3)z=1; 
    if(x==n&&z==2)z=0; 
    if(y==m&&z==1)z=3; 
    if(z==0)x--; 
    if(z==1)y++; 
    if(z==2)x++; 
    if(z==3)y--; 
} 
void exgcd(ll a,ll b,ll &x,ll &y) 
{ 
    if(b==0) 
    { 
        x=1,y=0;return; 
    } 
    exgcd(b,a%b,x,y); 
    ll t=x;x=y;y=t-a/b*y; 
} 
ll getans(ll len1,ll st1,ll len2,ll st2) 
{ 
    ll a=len1,b=-len2,c=st2-st1,x=0,y=0; 
    if(len1==0&&len2==0) 
        if(st2==st1)return st2;else return INF; 
    if(len1==0) 
        if(b>c&&c%b==0) 
            return max(st1,st2);else return INF; 
    if(len2==0) 
        if(c>a&&c%a==0) 
            return max(st1,st2);else return INF; 
    if(len1==len2) 
        if(abs(st2-st1)%len1==0) 
            return max(st1,st2);else return INF; 
    ll g=__gcd(a,b); 
    if(c%g!=0)return INF; 
    exgcd(a,b,x,y); 
    c/=g;x*=c; 
    b=abs(b);b/=g; 
    if(x<0)x=(b+x%b); 
    x%=b; 
    return st1+len1*x; 
} 
void find(ll x) 
{ 
    if(x>k) 
    { 
        ll st[6],len[6]; 
        for(int i=1;i<=k;i++) 
            st[i]=b[i][d[i]],len[i]=c[i][d[i]]; 
        if(k==1) 
        { 
            ans=min(ans,st[1]); 
            return; 
        } 
        for(int i=1;i<=k-1;i++) 
        { 
            st[i+1]=getans(len[i],st[i],len[i+1],st[i+1]); 
            if(__gcd(len[i],len[i+1])==0)len[i+1]=0; 
                else len[i+1]=len[i]*len[i+1]/__gcd(len[i],len[i+1]); 
        } 
        ans=min(ans,st[k]); 
    } 
    for(int i=0;i<=3;i++)  
        if(b[x][i]!=0)d[x]=i,find(x+1); 
} 
int main() 
{ 
    scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);  
    scanf("%lld%lld",&x1,&y1); 
    for(int l=1;l<=k;l++) 
    { 
        char ch;ll x,y,z,ring,_ring; 
        scanf("%lld %lld %c",&x,&y,&ch); 
        if(ch=='U')z=0; 
        if(ch=='R')z=1; 
        if(ch=='D')z=2; 
        if(ch=='L')z=3; 
        for(int i=1;i<=n;i++) 
        { 
            char ch[105]; 
            scanf("%s",ch); 
            for(int j=1;j<=m;j++) 
                a[i][j]=ch[j-1]-48; 
        }  
        memset(f,0,sizeof(f)); 
        for(int i=0;i<=3;i++)b[l][i]=0; 
        for(int i=1;;i++) 
            if(!f[x][y][z]) 
            { 
                f[x][y][z]=i; 
                if(x==x1&&y==y1)b[l][z]=i; 
                work(x,y,z); 
            }else
            { 
                ring=i-f[x][y][z]; 
                _ring=f[x][y][z]; 
                break; 
            } 
        for(int i=0;i<=3;i++) 
            if(b[l][i]>=_ring)c[l][i]=ring; 
                else c[l][i]=0; 
    } 
    find(1); 
    if(ans==INF)ans=-1; 
    printf("%lld",ans); 
}