多层感知机的基本知识
深度学习主要关注多层模型。在这里，我们将以多层感知机（multilayer perceptron，MLP）为例，介绍多层神经网络的概念。
隐藏层
下图展示了一个多层感知机的神经网络图，它含有一个隐藏层，该层中有5个隐藏单元。
表达公式
具体来说，给定一个小批量样本\(\boldsymbol{X} \in \mathbb{R}^{n \times d}\)，其批量大小为\(n\)，输入个数为\(d\)。假设多层感知机只有一个隐藏层，其中隐藏单元个数为\(h\)。记隐藏层的输出（也称为隐藏层变量或隐藏变量）为\(\boldsymbol{H}\)，有\(\boldsymbol{H} \in \mathbb{R}^{n \times h}\)。因为隐藏层和输出层均是全连接层，可以设隐藏层的权重参数和偏差参数分别为\(\boldsymbol{W}_h \in \mathbb{R}^{d \times h}\)和 \(\boldsymbol{b}_h \in \mathbb{R}^{1 \times h}\)，输出层的权重和偏差参数分别为\(\boldsymbol{W}_o \in \mathbb{R}^{h \times q}\)和\(\boldsymbol{b}_o \in \mathbb{R}^{1 \times q}\)。
我们先来看一种含单隐藏层的多层感知机的设计。其输出\(\boldsymbol{O} \in \mathbb{R}^{n \times q}\)的计算为
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h,\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned} \]
也就是将隐藏层的输出直接作为输出层的输入。如果将以上两个式子联立起来，可以得到
\[ \boldsymbol{O} = (\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h)\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o = \boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o. \]
从联立后的式子可以看出，虽然神经网络引入了隐藏层，却依然等价于一个单层神经网络：其中输出层权重参数为\(\boldsymbol{W}_h\boldsymbol{W}_o\)，偏差参数为\(\boldsymbol{b}_h \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o\)。不难发现，即便再添加更多的隐藏层，以上设计依然只能与仅含输出层的单层神经网络等价。
激活函数
上述问题的根源在于全连接层只是对数据做仿射变换（affine transformation），而多个仿射变换的叠加仍然是一个仿射变换。解决问题的一个方法是引入非线性变换，例如对隐藏变量使用按元素运算的非线性函数进行变换，然后再作为下一个全连接层的输入。这个非线性函数被称为激活函数（activation function）。
下面我们介绍几个常用的激活函数：
ReLU函数
ReLU（rectified linear unit）函数提供了一个很简单的非线性变换。给定元素\(x\)，该函数定义为
\[ \text{ReLU}(x) = \max(x, 0). \]
可以看出，ReLU函数只保留正数元素，并将负数元素清零。为了直观地观察这一非线性变换，我们先定义一个绘图函数xyplot。
%matplotlib inline
import torch
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2ldef xyplot(x_vals, y_vals, name):
# d2l.set_figsize(figsize=(5, 2.5))
plt.plot(x_vals.detach().numpy(), y_vals.detach().numpy())
plt.xlabel('x')
plt.ylabel(name + '(x)')x = torch.arange(-8.0, 8.0, 0.1, >requires_grad=True) y = x.relu() xyplot(x, y, 'relu')
我们来看一下ReLU函数的梯度：
y.sum().backward() xyplot(x, x.grad, 'grad of relu')
Sigmoid函数
sigmoid函数可以将元素的值变换到0和1之间：
\[ \text{sigmoid}(x) = \frac{1}{1 + \exp(-x)}. \]
y = x.sigmoid() xyplot(x, y, 'sigmoid')
依据链式法则，sigmoid函数的导数
\[ \text{sigmoid}'(x) = \text{sigmoid}(x)\left(1-\text{sigmoid}(x)\right). \]
下面绘制了sigmoid函数的导数。当输入为0时，sigmoid函数的导数达到最大值0.25；当输入越偏离0时，sigmoid函数的导数越接近0。
x.grad.zero_() y.sum().backward() xyplot(x, x.grad, 'grad of sigmoid')
tanh函数
tanh（双曲正切）函数可以将元素的值变换到-1和1之间：
\[ \text{tanh}(x) = \frac{1 - \exp(-2x)}{1 + \exp(-2x)}. \]
我们接着绘制tanh函数。当输入接近0时，tanh函数接近线性变换。虽然该函数的形状和sigmoid函数的形状很像，但tanh函数在坐标系的原点上对称。
y = x.tanh() xyplot(x, y, 'tanh')
依据链式法则，tanh函数的导数
\[ \text{tanh}'(x) = 1 - \text{tanh}^2(x). \]
下面绘制了tanh函数的导数。当输入为0时，tanh函数的导数达到最大值1；当输入越偏离0时，tanh函数的导数越接近0。
x.grad.zero_() y.sum().backward() xyplot(x, x.grad, 'grad of tanh')
关于激活函数的选择
ReLu函数是一个通用的激活函数，目前在大多数情况下使用。但是，ReLU函数只能在隐藏层中使用。
用于分类器时，sigmoid函数及其组合通常效果更好。由于梯度消失问题，有时要避免使用sigmoid和tanh函数。
在神经网络层数较多的时候，最好使用ReLu函数，ReLu函数比较简单计算量少，而sigmoid和tanh函数计算量大很多。
在选择激活函数的时候可以先选用ReLu函数如果效果不理想可以尝试其他激活函数。
多层感知机
多层感知机就是含有至少一个隐藏层的由全连接层组成的神经网络，且每个隐藏层的输出通过激活函数进行变换。多层感知机的层数和各隐藏层中隐藏单元个数都是超参数。以单隐藏层为例并沿用本节之前定义的符号，多层感知机按以下方式计算输出：
\[ \begin{aligned} \boldsymbol{H} &= \phi(\boldsymbol{X} \boldsymbol{W}_h + \boldsymbol{b}_h),\\ \boldsymbol{O} &= \boldsymbol{H} \boldsymbol{W}_o + \boldsymbol{b}_o, \end{aligned} \]
其中\(\phi\)表示激活函数。
多层感知机从零开始的实现
import torch
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l获取训练集
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,root='/home/kesci/input/FashionMNIST2065')定义模型参数
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256
W1 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_inputs, num_hiddens)), dtype=torch.float)
b1 = torch.zeros(num_hiddens, dtype=torch.float)
W2 = torch.tensor(np.random.normal(0, 0.01, (num_hiddens, num_outputs)), dtype=torch.float)
b2 = torch.zeros(num_outputs, dtype=torch.float)
params = [W1, b1, W2, b2]
for param in params:
param.requires_grad_(requires_grad=True)定义激活函数
def relu(X):
return torch.max(input=X, other=torch.tensor(0.0))定义网络
def net(X):
X = X.view((-1, num_inputs))
H = relu(torch.matmul(X, W1) + b1)
return torch.matmul(H, W2) + b2定义损失函数
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()训练
d2l.train_ch3()函数实现见上一节
num_epochs, lr = 5, 100.0
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, params, lr)多层感知机pytorch实现
import torch
from torch import nn
from torch.nn import init
import numpy as np
import sys
sys.path.append("/home/kesci/input")
import d2lzh1981 as d2l初始化模型和各个参数
num_inputs, num_outputs, num_hiddens = 784, 10, 256
net = nn.Sequential(
d2l.FlattenLayer(),
nn.Linear(num_inputs, num_hiddens),
nn.ReLU(),
nn.Linear(num_hiddens, num_outputs),
)
for params in net.parameters():
init.normal_(params, mean=0, std=0.01)训练
batch_size = 256
train_iter, test_iter = d2l.load_data_fashion_mnist(batch_size,root='/home/kesci/input/FashionMNIST2065')
loss = torch.nn.CrossEntropyLoss()
optimizer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.5)
num_epochs = 5
d2l.train_ch3(net, train_iter, test_iter, loss, num_epochs, batch_size, None, None, optimizer)