Codeforces 1296E2. String Coloring (hard version)

这道题和HDU1257一模一样，一开始窝都用贪心直接解，没法理解为什么求一个最长下降序列，直到看了巨巨的题解，先给出一个定理，Dilworth's theorem,离散学不好，补题两行泪，该定理是说，对于任意的偏序集，其最长反链的长度与能分解的最少的链数(chain decomposition)相等，反链(anti-chain)是指该链内任意元素不可比(incomparable),链(chain)则是都可比，回到这一题，要求的是递增链的最小数目，即递增链最小分解数，转换成求其递减链的最长长度即可，转换成了dp问题，先上贪心代码

const int maxm = 2e5+5;
 
int colors[maxm], cache[maxm];
 
void run_case() {
    int n;
    string str;
    cin >> n >> str;
    int res = 1;
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        int c = str[i] - 'a';
        bool neednew = false;
        for(int j = 1; j <= res; ++j) {
            if(colors[j] <= c) {
                colors[j] = c, cache[i] = j; break;
            }
            if(j == res) neednew = true;
        }
        if(neednew) {
            colors[++res] = c, cache[i] = res;
        }
    }
    cout << res << "\n";
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        cout << cache[i] << " ";
    }
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    run_case();
    //cout.flush();
    return 0;
}

贪心

设dp[i]表示以i结尾的最长的decrease链，则状态转移为:

1.若str[i] < str[i-1], dp[i]=dp[i-1]+1

2.若str[i] >= str[i-1] dp[i]=1

但是，这个状态与m段最大子段和一样，i的上一个increase字符不一定是i-1，例如bca,dp[a]为2而不为1，我们就模仿m段最大子段和，设maxdp[i]为字母i结尾的最长的decrease链长度，

则dp[i] = max(1,maxdp[pre]+1), pre表示比i大的字母，然后再用dp更新maxdp即可，maxdp[str[i]] = max(maxdp[str[i]], dp[i])，那么，我们如何恢复答案呢，看dp数组更新时，若dp[i]大于了maxdp[pre]，因为我们要求的是increase链，则str[i]无法接在pre(比str[i]大的字母)后面，就要用一个新的颜色，即更新了dp[i]，所以dp[i]就是答案

void run_case() {
    int n;
    string str;
    cin >> n >> str;
    vector<int> maxdp(26);
    vector<int> dp(n, 1);
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        for(int c = 25; c > str[i]-'a'; --c) {
            dp[i] = max(dp[i], maxdp[c]+1);
        }
        maxdp[str[i]-'a'] = max(maxdp[str[i]-'a'], dp[i]);
    }
    cout << *max_element(maxdp.begin(), maxdp.end()) << "\n";
    for(int i = 0; i < n; ++i)
        cout << dp[i] << " ";
}
 
int main() {
    ios::sync_with_stdio(false), cin.tie(0);
    run_case();
    //cout.flush();
    return 0;
}

DP