钢条切割问题：
某公司购买长钢条，将其切割为短钢条出售。切割工序本身没有成本支出。公司管理层希望知道最佳的切割方案。假设我们知道该公司出售一段长度为i英寸的钢条的价格为Pi（i=1,2,3,....）钢条的长度均为整数。下面给出一个价格表的样例
长度i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 价格Pi 1 5 8 9 10 17 17 20 24 30
首先，我们分析这个问题。其目的很简单，就是要求给你一根长钢条，让你切割不同的长度，然后出售，但是前提是要获取最大的利润。
为了找出他的规律，或者说是为了体会一下这个分割求解的过程。
我们假设我们获取到了一根4米长的长钢条。
对有这个4米长的长钢条来说，我们一共有8种分割方式：
第一种：就是不分割，如果分割都可以获取最大的利润，我为什么要分割呢?对于这种情况，我们的收益是9美元
第二种：分割为1米和3米。从图表中我们可以得到，我们的收益是1+8 = 9美元
第三种：分割为2米和2米。从图表中我们可以得到，我们的收益是5+5 = 10美元
第四种：分割为3米和1米。从图表中我们可以得到，我们的收益是8+1 = 9美元
第五种：分割为1米、1米和2米。从图表中我们可以得到，我们的收益是1+1+5 = 7美元
第六种：分割为1米、2米和1米。从图表中我们可以得到，我们的收益是1+5+1 = 7美元
第七种：分割为2米、1米和1米。从图表中我们可以得到，我们的收益是5+1+1 = 7美元
第八种：分割为1米、1米、1米、1米。从图表中我们可以得到，我们的收益是1+1+1+1 = 4美元
综上所述：我们可以得出在长钢条为4米的情况下，其最大收益为10美元。
下面我们开始分析这个过程：
首先我们要清楚一个事实，就是对于一个长为n米的长钢条，有多少种组合的可能？还有对于长度为4米的长钢条能被分为8次这个是怎么计算的呢？
下面我们开始推断出这个公式:
对于一个长度为n的长钢条不切割时：只有1种 （9和0）
切割1次时有Cn1 = n种
切割2次时有Cn2 = n(n-1)/2种
。。。
切割n次时有Cnn = 1种
于是我们就得出这么一个公式，一个长度为n的长钢条，可以被分割为Cn1 + Cn2 + Cnn = 2^n-1
所有对于n=4时，分割的次数为2^3 = 8
在明白这个的基础下，我们继续下面的分析。
我们可以假设，在钢条被切割为k段时，有最优解，其中(1<=k<=n)
所以可以得到最优解分割方案为：n = i1+i2+i3+...+ik;
所有同样可以得到最大收益为: rn = Pi1+Pi2+...Pik;
对于rn，我们可以用更短的钢条的最优切割收益来描述它：
rn = max(Pn,r1+rn-1,r2+rn-2,...,rn-1+r1)
对于这个式子，我需要做一些解释，如果对于这个式子有什么不了解的，不用担心，因为这或许就是动态规划原理的核心部分。
这句话是什么意思呢？
我们可以这样理解：对于一根4米的长钢条。我们可以用1和3的最优解表示，或者2和2的最优解表示，还有用不分割的情况下4和0的最优解表示。
每一根钢条，我们都分割两短，例如一根钢条为9米，我们可以把他分割为4,5米。只需要知道4米时的最优解和5米时的最优解，我们就可以知道当9米被分割为4米和5米的时的最优解了。但是此时我们并不能保证，这个4,5分割一定是最优方案，所以我们同样要进行其他的方案分割。同时还要获取其他的方案情况下的最优解。最终。我们可以知道，对于本问题的最优解，一定产生于这些最优子问题的最优解之中。
Pn：代表不分割的情况下
r1+rn-1：代表分割成1，n-1的情况下的最优解
。。。
rn-1+r1：代表分割为n-1，1的情况下的最优解
最终只需获取这些最优解的最大值，必然就为本问题的最优解了。对于这些子问题的最优解，有一个专用术语：最优子结构。
如果我们用暴力法求解这个递归式的话。我们经过简单的计算可以知道，这个时间复杂度为：T(n) = 1+T(1)+T(2)+...T(n-1) = 2^n
对于一个指数级别的算法来说，这简直可以说是一个很糟糕的算法，我想这也没有任何的利用价值。
不过还好，我们有动态规划，该算法可以很轻松的解决这个指数级别的问题。可以将其复杂程度降至n^2
首先。我们分析，为什么暴力法会有这么糟糕的效率呢？
我们举例说明：
如果对于一个8米长的长钢条可以分解为 1+7 2+6 3+5 4+4
所以在之前必须要计算出1,2,3,4,5,6,7时所对应的最优解
对于一根长为9米的长钢条可以分解为1+8 2+7 3+6 4+5
所以在之前必须要计算出1,2,3，4,5,6,7,8时所对应的最优解
如果我要给你一个9米的长钢条：
你需要计算1，2,3，4,5,6,7,8 时的最优解
在递归时计算8的最优解时，你有要必须计算1,2,3,4,5,6,7时的最优解
。。。
你重复计算了太多的选项，
此时如果你从1开始，
计算了1的最优解，并用一个数组保存起来啊a[1]
然后计算2的最优解，有组合(2，0) (1，1)
对于组合(2，0) 直接读取价格表就好了
对于组合(1，1) 直接从数组a中读取就可以得出1时的最优解了，因为我们已经保存在了数组中a[1]
将此时计算的2的最优解，保存在数组中a[2]...以此向上。最终所有的当前问题的最优解都可以通过之前的计算结果获取(最优子结构数组)，在这种算法条件下，我们最大可能减少了计算量，并且最大可能的利用了我们的计算结果，所以可以大大的降低的计算，提高的效率，这就是动态规划的厉害之处。
int Best_Value(int p[],int n){
int a[100];//初始化一个数组，其目的就是为了保存子结构的最优解
int i,j;
int temp;
a[0] = 0;
for(i = 1 ; i <= n ; i++) {
temp = -1;
for(j = 0 ; j < i ; j++) {
if(temp < a[j]+p[i-j-1]) {
temp = a[j]+p[i-j-1];
}
}
a[i] = temp;
}
return a[n];
}