动态规划-(背包问题）

1.01背包问题

具体例子：有n个重量和价值分别为wi,vi的物品，从这些物品中挑选出总重量不超过W的物品，求所有挑选方案中价值总和的最大值。例如：

n = 4
(w,v) = {(2,3),(1,2),(3,4),(2,2)}
W = 5

DP思想：求出状态转移方程，也就是求出递推式。首先将问题一般化：解决此问题需要2个一维数组，和1个二维数组：

方法1：

w[i]：表示第i个物品的重量,下标从0开始。

v[j]：表示第j个物品的价值

dp[i][j]：从第i个物品开始挑选总重小于j时，总价值的最大值

dp[i+1][j-w[i]]：从第i+1个物品开始挑选总重小于j-w[i]时，总价值的最大值。

于是显而易见有：

dp[n][j] = 0，第n号物品不存在，只有n-1号物品
当j<w[i]（即当前背包容量不能挑选这个物品）则有dp[i][j] = dp[i+1][j]。
当j>=w[i]时，背包可以选这个也可以暂时不选这个。则dp[i][j] = max(dp[i+1][j],dp[i+1][j-w[i]]+v[i])

源码如下：

//此时选择0,1,3号物品为解：7。
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int w[4] = {2,1,3,2},v[4] = {3,2,4,2};
int n = 4,W = 5;
int dp[5][5];       //dp数组

void solve(){
    for(int i = n-1;i >= 0;i--){
        for(int j = 0;j <= W;j++){
            if(j < w[i])
                dp[i][j] = dp[i+1][j];
            else
                dp[i][j] = max(dp[i+1][j], dp[i+1][j-w[i]]+v[i]);
        }
    }   
} 
int main(void){
    solve();
    printf("%d\n",dp[0][W]);
    return 0;
}

总结：该方法中需要理解的地方是关于i的循环是逆向进行的，因为已知dp[n][j] = 0（全局数组初始化为0)，dp的值需要以此为基础进行递推。故要从i = n-1开始循环。

方法2：

令：

dp[i][j]: 从前i个物品中选出总重量不超过j的物品时的总价值的最大值。

dp[0][j]: 从前0个物品中选出总重量不超过j的最大值，显然 = 0.

那么求dp[i][j]又可以转化为:从前i-1个物品中选出总重量不超过j，和前i-1个物品中选出总重量不超过j-w[i-1]两种情况中的最大值。

综上述可得：

dp[0][j] = 0,dp[i][0] = 0;
dp[i][j] = dp[i-1][j] (j < w[i-1])
dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1])

源码如下：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

int w[4] = {2,1,3,2},v[4] = {3,2,4,2};
int n = 4,W = 5;
int dp[5][5];       //dp数组

void solve(){
    for(int i = 1;i <= n;i++){      //这里循环需从1开始，因为dp会索引到i-1。 
        for(int j = 0;j <= W;j++){
            if(j < w[i])
                dp[i][j] = dp[i-1][j];
            else
                dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-w[i-1]]+v[i-1]);
        }
    }
} 
int main(void){
    solve();
    printf("%d\n",dp[n][W]);
    return 0;
}

总结：相比于方法1，这里改变了i的循环方向，需要注意的是循环变量的写法。