【题解】- hdu 不容易系列之(4)——考新郎【组合】【错排】

不容易系列之(4)——考新郎

国庆期间,省城HZ刚刚举行了一场盛大的集体婚礼,为了使婚礼进行的丰富一些,司仪临时想出了有一个有意思的节目,叫做"考新郎",具体的操作是这样的:

首先,给每位新娘打扮得几乎一模一样,并盖上大大的红盖头随机坐成一排;
然后,让各位新郎寻找自己的新娘.每人只准找一个,并且不允许多人找一个.
最后,揭开盖头,如果找错了对象就要当众跪搓衣板…
看来做新郎也不是容易的事情…
假设一共有N对新婚夫妇,其中有M个新郎找错了新娘,求发生这种情况一共有多少种可能.

Input

输入数据的第一行是一个整数C,表示测试实例的个数，然后是C行数据，每行包含两个整数N和M(1<M<=N<=20)。

Output

对于每个测试实例，请输出一共有多少种发生这种情况的可能，每个实例的输出占一行。

Sample Input

2
2 2
3 2

Sample Output

1
3

AC代码

#include <stdio.h>
int main(void)
{
    int c, n, i, m;
    long long arr[25], sum1, sum2, sum;
    scanf("%d",&c);
    while(c --){
        scanf("%d%d",&n,&m);
        arr[0] = 0;
        arr[1] = 0;
        arr[2] = 1;
        for(i = 3; i <= 20; i ++){
            arr[i] = (i - 1) * (arr[i - 1] + arr[i - 2]);
        }
        sum1 = sum2 = 1;
        for(i = n; i >= m + 1; i --){
            sum1 *= i;
        }
        for(i = 1; i <= n - m; i ++){
            sum2 *= i;
        }
        printf("%lld\n",arr[m] * (sum1 / sum2));
    }
    return 0;
}

思路

这个道题就是求N中有多少中M个数的错排。

因此先找到N个新郎中M个错一共有几种，显然是CMN=N!/(M!*(N-M)!)。即CMN=N!/M!/(N-M)!。

然后在求出M个数的错排个数，递推关系：f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2])

详细推导过程：

错排的情况：

首先考虑，如果开始有n-1个新郎，并且这n-1个人都已经完成了错排（有f(n-1)种可能），现在又来了一个人，那么后来的第n个人可以通过用自己的新娘去和那n-1个人中的任意一个交换，来实现n个人都错排。这种情况有(n-1)*f[n-1]种可能;

另外，如果开始的n-1个人不是都错排，那么要想使第n个人过来与其中一个交换后实现错排的话就必须满足两个条件：

1.那n-1个人中只有一个人选到了自己的新娘，也就是说有n-2个人都已经错排了。

2.第n个人必须和那个选到自己新娘的人去交换，但那个选到自己新娘的人可以是n-1个人中的任意一个。这种情况有(n-1)*f[n-2]种可能。

其他情况都不能满足n个人错排。

因此递推关系：f[n]=(n-1)*(f[n-1]+f[n-2])。