集合论第一章 3 集合论的公式和条件

3.1 集合论的公式

除了 $=$ 和 $\in$ 这两个基本关系，集合论中还有7种逻辑关系：

符号	含义
$\land$	与
$\lor$	或
$\lnot$	非
$\implies$	蕴含
$\iff$	当且仅当
$\forall ()$	对于任何（每个，一切）的()，都有
$\exists ()$	存在某个()，使得

现在规定哪些语句是集合论的公式：

1. $(a = b)$ 和 $(a \in b)$是公式，被称为原子公式。
2. 如果 $\varphi, \phi$ 是公式，则 $(\varphi \land \phi), (\varphi \lor\phi), (\varphi \lnot\phi), (\varphi \implies \phi)$ 和 $(\varphi \iff \phi)$ 是公式。
3. 用 $\varphi (x)$ 表示含 $x$ 的一个公式（公式中还可含其它集合的符号），则 $\forall x, \varphi (x)$ 和 $\exists x, \varphi (x)$ 是公式。
4. 除了 1, 2, 3 的其他语句都不是公式。

在不至引起歧义的情况下，可以略去公式中的一些括号。
最后，为了简化书写，在不至引起歧义的情况下，也允许用另外的符号或语句来描述公式。

3.2 集合论的条件

当且仅当 $C (x)$ 是含 $x$ 的一个公式（ $C (x)$ 还可含其它集合的符号）并且不含 $\forall x$ 及 $\exists x$，我们说 $C (x)$ 是 $x$ 的一个集合论条件，简称条件。

对于一个已知条件 $C (x)$ ，如果存在一个集合 $A$ 满足：

1. 符号 $A$ 不出现在 $C (x)$ 中。
2. $A$ 恰好包含使 $C (x)$ 成立的一切集合，即： $\forall x (x \in A \iff C(x))$ 。

我们就说： $C (x)$ 是使 $x$ 成为集合 $A$ 的元素的一个条件，或者说：条件 $C(x)$ 确定了一个集合 $A$ 。并记：
$A = \{ x | C(x) \}$
例如，我们可以写：
$\varnothing = \{ x | x \neq x \}$
这就是说，对于任意一个条件 $C (x),$ 当且仅当存在一个集合 $A$ ，使得 $A$ 满足条件 1, 2 时， 条件 $C(x)$ 才确定一个集合 $A$ 。

3.3 集合论条件的性质

若条件 $C(x)$ 确定了一个集合 $A$ ，则 $A$ 是唯一的。

证明

假设条件 $C(x)$ 确定了一个集合 $A'$，则：
$\forall x (x \in A'\iff C(x))$
于是：
$\forall x (x \in A\iff x \in A')$
由外延公理，我们得到：
$A = A'$

3.4 罗素悖论

现在的问题是，任意一个条件都能确定一个集合吗？下面的悖论给出了否定的答复：

罗素悖论

不存在一个集合 $A,$ 它包含所有不属于自己的集合。即：
$\forall x (x \in A \iff x \not \in x)$

证明

对于条件 $x \not \in x,$ 若存在一个集合 $A,$ 使得：
$\forall x (x \in A \iff x \not \in x)$
取 $x = A$ ， 则：
$A \in A \iff A \not \in A$
这就产生了矛盾。