康托尔的朴素集合论和罗素悖论

康托尔的朴素集合论

剖析康托尔的集合论中的许多证明可知，几乎他所证明的一切定理均能从如下的三个公理得出：

1. 外延公理：任意两个集合相等，当且仅当他们中的各个元素都是相同的
2. 抽象公理：任给的一个性质，都有一个满足该性质的对象所组成的集合
3. 选择公理：每个集合都有一个选择函数

问题出现在 抽象公理上，罗素发现：“由不属于自身的元素这一性质的所有客体组成的集合”

罗素悖论

罗素构造了一个集合S：S由一切不属于自身的集合所组成。然后罗素问：S是否属于S呢？
S = { A ∣ A 是 集 合 ， 且 A ∉ A } S=\{A|A是集合，且A\notin A \} S={ A∣A是集合，且A∈/​A}
根据排中律，一个元素或者属于某个集合，或者不属于某个集合。因此，对于一个给定集合，问是否属于它自己是有意义的。但对这个看似合理的问题的回答却会陷入两难境地。如果S属于S，根据S的定义，S就不属于S；反之，如果S不属于S，同样根据定义，S就属于S。无论如何都是矛盾的。

$$主流解决方案\{\begin{array}{l}ZF公理系统\\ NBG公理系统\end{array}$$