1）问题描述
利用最优二叉搜索树来实现树的搜索代价最小。树上的每一个节点都有一个被搜索到的概率值pi，搜索一个节点的花费为pi∗（depth(ki)+1），如何构造一个二叉查找树使搜索树上的 所有节点的花费最小即为实现最优二叉查找树的问题。该问题可以用动态规划的思路实现。
形式化定义：给定n个不同关键字已经排序的序列K=(k1,k2,…,kn)因此(k1<k2<k3<…<kn),我们希望用这些关键字构造一个二叉搜索树。对每个关键字ki,都有概率pi表示起搜索概率。有些要搜索的值可能不再K中，因此我们还需要n+1个伪关键字(d0,d1,d2,…dn)，对于每一个伪关键字都有一个概率qi表示对应的搜索概率。
例子：
该二叉搜索树有5个顶点（x1,x2,x3,x4,x5）。
【x1<x2<x3<x4<x5】
2）基本思路
3）代码实现
public class example {
public static void main(String[] args) {
double[] p={0,0.15,0.1,0.05,0.1,0.2}; //n=5关键字有5个
double[] q={0.05,0.1,0.05,0.05,0.05,0.1}; //叶子结点有n+1 = 6个
///这里的关键字长度为5
int n = p.length;
System.out.println("输出根节点辅助表");
int[][] root = Optimal_BST(p,q,n-1);
int temp = root.length-1;
for(int i=1;i<temp;i++){
for(int j=1;j<temp;j++){
System.out.print(root[i][j]+"-");
}
System.out.println();
}
printOptimalBST(root,1,5,root[1][5]);
}
/**
* DP在计算最优二叉树的辅助表的算法实现
* @param p
* @param q
* @param n
* @return
*/
private static int[][] Optimal_BST(double[] p, double[] q, int n) {
double[][] e = new double[n+2][n+2];//
double[][] w = new double[n+2][n+2];
int[][] root = new int[n+2][n+2];
//初始化叶子结点的值
for(int i=1;i<=n+1;i++){
e[i][i-1]=q[i-1];
w[i][i-1]=q[i-1];
}
for(int l=1 ; l<=n ; l++){///最外层循环是逐渐的将关键字个数从一个扩展到n个
for(int i=1;i<=n-l+1;i++){
int j=i+l-1;
e[i][j]=Double.MAX_VALUE;
w[i][j]=w[i][j-1]+p[j]+q[j];
for(int r=i;r<=j;r++){
double t = e[i][r-1]+e[r+1][j]+w[i][j];
if(t<e[i][j]){
e[i][j]=t;
root[i][j]=r;///存储根节点的位置
}
}
}
}
System.out.println("输出当前的最小代价："+e[1][n]);
return root;
}
/**
* 构建最优二叉搜索树
* @param root
* @param i
* @param j
* @param k
*/
private static void printOptimalBST(int[][] root, int i, int j, int r) {
int rootChild = root[i][j];
if(rootChild==r){
System.out.println("K"+rootChild+"是根");
printOptimalBST(root,i,rootChild - 1,rootChild);
printOptimalBST(root,rootChild + 1,j,rootChild);
return;
}
if (j < i - 1)
{
return;
}
else if (j == i - 1)//遇到虚拟键
{
if (j < r)
{
System.out.println( "d" + j + "是" + "k" + r + "的左孩子" );
}
else {//j>=r
System.out.println( "d" + j + "是" + "k" + r + "的右孩子" );
}
return;
}
else//遇到内部结点
{
if (rootChild < r)
{
System.out.println ("k" + rootChild + "是" + "k" + r + "的左孩子" );
}
else{
System.out.println ("k" + rootChild + "是" + "k" + r + "的右孩子" );
}
}
printOptimalBST(root,i,rootChild - 1,rootChild);
printOptimalBST(root,rootChild + 1,j,rootChild);
}
}输出根节点辅助表
输出当前的最小代价：2.75
1-1-2-2-2-
0-2-2-2-4-
0-0-3-4-5-
0-0-0-4-5-
0-0-0-0-5-
K2是根
k1是k2的左孩子
d0是k1的左孩子
d1是k1的右孩子
k5是k2的右孩子
k4是k5的左孩子
k3是k4的左孩子
d2是k3的左孩子
d3是k3的右孩子
d4是k4的右孩子
d5是k5的右孩子4）时间复杂度和空间复杂度
时间复杂度
O(n3)
空间复杂度
O(n2)
