【leetcode】96 不同的二叉搜索树（动态规划，二叉搜索树）

题目链接：https://leetcode-cn.com/problems/unique-binary-search-trees/

题目描述

给定一个整数 n，求以 1 … n 为节点组成的二叉搜索树有多少种？

示例:

输入: 3
输出: 5
解释:
给定 n = 3, 一共有 5 种不同结构的二叉搜索树:

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3

思路

首先因为当前整数为i时情况必然与<=i的情况相关，所以我们考虑动态规划的思路，首先建立一维dp数组。
dp[i]表示整数为i时组成的二叉搜索树种数。
我们考虑将i作为根节点，设左子树上节点数为j，0<=j<=n-1，则右子树上节点为i-1-j。构成的二叉搜索树总数为左子树和右子树的组合总数。即有动态规划方程。

dp[i] = sum( dp[j] ,dp[i-1-j)) for j in [0,n-1]

得到的式子是卡特兰数

G(n) = G(0) * G(n-1) + G(1) * G(n-2) + … + G(n-1) * G(0) 

复杂度分析
时间复杂度：O（n^2）
空间复杂度：O（1）

代码

class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int> dp(n+1,0);
        dp[0] = 1, dp[1] = 1;
        for(int i = 2; i<= n; ++i)
            for (int j = 0; j <= i-1; ++j)
                dp[i] += (dp[j] * dp[i-1-j]);
        return dp[n];
    }
};