问题G 送礼物(折半dfs+二分）

题目

思路：因为直接爆搜会T，所以先搜后一半的所有可能的组合，然后排序，搜前一半和组合的权值和加上前一半的组合的权值和（二分搜索出一个rec[i]，让其和val的和不大于w的情况），更新ans；
复杂度从O(2ⁿ)->O(2^n/2 +log(2^n/2)*2^n/2)=O((1+n/2 *log2) *2^n/2)
总复杂度从 前一半复杂度 * 2^n/2 变为前一半复杂度 +log2 * 2^n/2

#include <cstdio>
#include <iostream>
#define ll long long
using namespace std;
ll w,n,tot,ans;
ll a[50],rec[1<<22+1];///rec数组，记录后n/2个数据中所有可能的组合的权值和（最多2^22种情况，所以要开这么大)
void dfs1(ll x,ll val)///dfs后n/2个数据的所有可能的组合的权值和
{
    if(x>n)
    {
        rec[++tot]=val;
        return;
    }
    if(val+a[x]<=w)  dfs1(x+1,val+a[x]);
    dfs1(x+1,val);
}
void dfs2(ll x,ll val)///搜索前一半的权值和与后一半的组合的权值和最大值
{
    if(x>=(n)>>1)
    {
        int l=1,r=tot;
        while(l<r)///二分搜索组合的权值加val的不大于w的和val+rec[mid]
        {
            int mid=(l+r+1)>>1;
            if(rec[mid]+val<=w)  l=mid;
            else  r=mid-1;
        }
        ans=max(ans,val+rec[l]);///更新最大值
        return;
    }
    if(val+a[x]<=w)  dfs2(x+1,val+a[x]);
    dfs2(x+1,val);
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&w,&n);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        scanf("%lld",&a[i]);
    sort(a+1,a+n+1);
    dfs1((n)/2,0);
    //cout<<(1<<23)<<endl;
    sort(rec+1,rec+1+tot);
    dfs2(1,0);
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}

若要输出达到w时的组合的方式(牛客多校第九场D）

#include <cstdio>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll w,n,tot,ans;
struct edge
{
	ll val;
	int num;
}a[50];
struct node
{
	ll rec;
	bool v[50];
}e[1<<22+1];
bool temp[50],t[50];

bool cmp1(edge a,edge b)
{
	return a.val>b.val;
}

bool cmp2(node a,node b)
{
	return a.rec<b.rec;
}

void dfs1(ll x,ll val)///dfs后n/2个数据的所有可能的组合的权值和
{
    if(x>n)
    {
        e[++tot].rec=val;
        for(int i=1;i<=n;i++) e[tot].v[i]=temp[i];///记录该种rec的选择方式
        return;
    }
    if(val+a[x].val<=w)
    {
    	temp[a[x].num]=1;///选择第a[x].num个，则使用temp记录
    	dfs1(x+1,val+a[x].val);
    	temp[a[x].num]=0;///还原状态
    }
    dfs1(x+1,val);
}
void dfs2(ll x,ll val)///搜索前一半的权值和与后一半的组合的权值和最大值
{
    if(x>=(n)>>1)
    {
        int l=1,r=tot;
        while(l<r)///二分搜索组合的权值加val的不大于w的和val+rec[mid]
        {
            int mid=(l+r+1)>>1;
            if(e[mid].rec+val<=w)  l=mid;
            else  r=mid-1;
        }
        ans=max(ans,val+e[l].rec);///更新最大值
        if(ans==w)///达到目标最大值,输出
        {
        	for(int i=1;i<=n;i++)
        		if(e[l].v[i]||t[i]) cout<<1;///因为选择了e[l].rec,所以输出e[l].v，两个中有一个选中就输出1
        		else cout<<0;
        	cout<<endl;
        	ans-=10000000000000000000;///改变ans,只输出第一个答案（才是正确的）
        }
        return;
    }
    if(val+a[x].val<=w)
    {
    	t[a[x].num]=1;///记录选择了第a[x].num个
    	dfs2(x+1,val+a[x].val);
    	t[a[x].num]=0;///还原状态
    }
    dfs2(x+1,val);
}
int main()
{
    scanf("%lld%lld",&w,&n);
    for(int i=1; i<=n; i++)
        scanf("%lld",&a[i].val),a[i].num=i;
    sort(a+1,a+n+1,cmp1);
    dfs1((n)/2,0);
    //cout<<(1<<23)<<endl;
    sort(e+1,e+1+tot,cmp2);
    dfs2(1,0);
    return 0;
}