蓝书（算法竞赛进阶指南）刷题记录——CH2401送礼物（双向dfs+二分）

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题目：CH2401.
题目大意：给定 $n$个物品的重量 $a[i]$以及一个上限 $W$，要求挑选一些物品使得 $a[i]$之和小于等于 $W$且最接近 $W$.
$1\leq n\leq 45,W<2^{31}$.

看起来是道背包模板题，但是由于 $W$太大只能考虑搜索了.

很容易发现搜索是 $O(2^n)$的，复杂度太高，但是可以发现 $O(2^{\frac{n}{2}})$级别的算法是可以通过这道题的，所以考虑双向搜索.

考虑把礼物分成两部分，第一部分把所有可能得到的 $a[i]$和放入一个数组中排序，第二部分直接大力搜索，每次凑出一种情况，就把当前的 $a[i]$和与第一部分中的一个组合，可以通过二分实现.

时间复杂度 $O(n2^{\frac{n}{2}})$.

在具体实现的过程中，可以把 $a[i]$从大到小排序，并且由于第二部分的复杂度多了 $O(n)$，所以可以给第一部分多分配一点来到达优化的效果.

还有一点要注意，这道题两个int相加会爆int…

代码如下：

#include<bits/stdc++.h>
  using namespace std;

#define Abigail inline void
typedef long long LL;
typedef unsigned int UI;

const int N=45;

int tx,n;
UI w,x[1<<N/2+3],a[N+9],mx;

bool cmp(const UI &a,const UI &b){return a>b;}

void dfs1(int k,UI s){
  if (s>w) return; 
  if (k>n/2+2) {x[++tx]=s;return;}      //由于第二个搜索复杂度多个O(n)，所以前面搜多一点会更快 
  dfs1(k+1,s);
  dfs1(k+1,s+a[k]);
}

UI Upper(int k){
  int l=0,r=tx,mid=l+r+1>>1;
  for (;l<r;mid=l+r+1>>1)
    k<x[mid]?r=mid-1:l=mid;
  return x[l];
}

void dfs2(int k,UI s){
  if (s>w) return;
  if (k>n) {mx=max(mx,s+Upper(w-s));return;}
  dfs2(k+1,s);
  dfs2(k+1,s+a[k]);
}

Abigail into(){
  scanf("%u%d",&w,&n);
  for (int i=1;i<=n;++i)
    scanf("%u",&a[i]);
}

Abigail work(){
  sort(a+1,a+1+n,cmp);      //貌似从大到小排序会快一点 
  dfs1(1,0);
  sort(x+1,x+1+tx);
  mx=x[tx];
  dfs2(n/2+3,0);
}

Abigail outo(){
  printf("%u\n",mx);
}

int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}