LeetCode 第 300 题： 最长上升子序列（动态规划、记忆化搜索）

地址：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/
我写的题解地址：https://leetcode-cn.com/problems/longest-increasing-subsequence/solution/dong-tai-gui-hua-er-fen-cha-zhao-tan-xin-suan-fa-p/

方法一：动态规划

• 状态定义：dp[i] 表示以 nums[i] 结尾的“最长上升子序列”的长度；

怎么想到的？状态转移方程好推导。

• 状态转移方程：

$dp[i] = \max_{0 \le j < i, nums[j] < nums[i]} {dp[j] + 1}$

解释：在所有位于索引位置 i 前面比 nums[i] 小的数的后面。

• 初始化：dp[0] = 1，单独一个数是一个子序列；
• 输出：整个数组 dp 中的最大值。

$\max_{1 \le i \le N} dp[i]$

Java 代码：

import java.util.Arrays;

public class Solution2 {

    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        // 特判
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
            return 0;
        }

        // dp[i]：以 nums[i] 结尾的最长上升子序列的长度
        int[] dp = new int[len];
        Arrays.fill(dp, 1);

        for (int i = 1; i < len; i++) {
            for (int j = 0; j < i; j++) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[i], 1 + dp[j]);
                }
            }
        }

        int res = dp[0];
        for (int i = 1; i < len; i++) {
            res = Math.max(res, dp[i]);
        }

        return res;
    }
}

方法二：记忆化搜索

Java 代码：

import java.util.Arrays;

/**
 * 记忆化递归，代码看起来有点臃肿
 * 时间复杂度：O(n^2)
 * 空间复杂度：O(n)
 */
public class Solution {

    /**
     * 以 nums[i] 结尾的最长上升子序列的长度
     */
    private int[] memo;

    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        // 特判
        int len = nums.length;
        if (len == 0) {
            return 0;
        }

        memo = new int[len];
        Arrays.fill(memo, -1);

        int res = 1;
        for (int i = 0; i < len; i++) {
            res = Math.max(res, getMaxLength(nums, i));
        }

        return res;
    }

    private int getMaxLength(int[] nums, int index) {
        if (memo[index] != -1) {
            return memo[index];
        }

        int res = 1;
        for (int i = 0; i < index; i++) {
            if (nums[i] < nums[index]) {
                res = Math.max(res, 1 + getMaxLength(nums, i));
            }
        }
        return memo[index] = res;
    }
}